Second order reflected Langevin processes

• Auteur / Autrice : Emmanuel Jacob
• Direction : Jean Bertoin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Langevin, Équation de

Résumé

Le processus de Langevin est un modèle concurrent du mouvement Brownien pour décrire les trajectoires erratiques de particules physiques. Nous nous intéressons à des problèmes de réflexion pour ce processus, le modèle naturel étant la réflexion au second ordre. La réflexion au second ordre déterministe est une équation au dérivées partielles, qui admet génériquement plusieurs solutions lorsque la force extérieure est fortement oscillante. Dans notre modèle stochastique, tout au contraire, nous montrons toujours l’existence d’une unique solution, au sens faible. Après un premier chapitre constituant une longue introduction historique et scientifique, le deuxième chapitre définit d’abord le processus de Langevin stationnaire, puis étudie sa mesure d'excursion de Pitman. Ce travail est alors appliqué à l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière totalement inélastique. Le troisième chapitre commence l'étude du processus réfléchi sur une barrière partiellement élastique. Nous mettons en évidence l'existence de deux régimes bien distincts, selon la valeur du coefficient d'élasticité de la réflexion, comparée à la valeur critique 0,163. En régime surcritique et critique, la principale difficulté est liée au cas où le processus réfléchi part de 0 avec vitesse nulle. Nous montrons que le processus reste alors bien défini de manière unique. Le quatrième chapitre s'attaque au régime sous-critique, plus difficile. En particulier, quelle que soit la condition initiale, en un temps fini le processus se retrouvera en zéro avec vitesse nulle. Nous montrons encore l'existence d'un unique processus réfléchi, décrit cette fois-ci via sa mesure d'excursion d'Ito