Sur les triangulations des structures CR-sphériques

On triangulations of spherical CR structures

• Auteur / Autrice : Juliette Genzmer
• Direction : Elisha Falbel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Triangulation

Géométrie hyperbolique

Groupes arithmétiques

Résumé

Thurston montre comment munir le complémentaire du noeud de huit dans S³ d'une structure hyperbolique réelle complète en identifiant cet espace au recollement de deux tétraèdres. Falbel prolonge cette méthode dans le cadre CR-sphérique. Il obtient ainsi une géométrisation CR branchée pour le complémentaire du noeud. Cette approche passe par la résolution d'équations polynomiales dont les inconnues sont des invariants caractérisant les tétraèdres. La résolution de ces équations nous a permis de construire des représentations de groupes fondamentaux à valeur dans PU(2,1) pour des variétés non compactes. Dans le cas réel, la rigidité des structures hyperboliques complètes est assurée par le théorème de Mostow, tandis qu'il existe des représentations de variétés CR-sphériques compactes admettant des déformations. Le calcul du rang des équations précédemment évoquées permet de conclure à la rigidité d'une structure CR-sphérique triangulée dès qu'elle existe. Pour les représentations que nous avons construites, le rang des équations est systématiquement maximal. Dans le cas général, nous donnons des minorations du rang. Dans une partie indépendante, nous étudions le corps de trace de sous-groupes de SU(n,1). Nous établissons que pour un groupe G dans SU(2,1) Zariski dense qui contient une transformation parabolique, quitte à conjuguer G, son corps de trace est exactement le corps engendré par les coefficients de ses matrices.

Thurston gives a construction of the hyperbolic structure on the complement of the figure-eight knot by gluing together two regular tetrahedra. Falbel extends this method in spherical CR geometry. In doing so, he endows the complement of the figure-eight knot with a branched spherical CR structure. This approach uses the resolution of polynomial equations whose unknowns are invariants characterizing the tetrahedra. By solving these equations, we construct representations of fundamental groups in PU(2,1) for non-compact manifolds. In the real case, the rigidity of hyperbolic structures is ensured by Mostow's theorem, while some representations of compact spherical CR manifolds admit deformations. The calculation of the rank of the system of the equations previously mentioned allows us to conclude for the rigidity of a triangulated spherical CR structure as soon as it exists. For the representations we have constructed, the rank of the system is always maximal. In the general case, we give some lower bound for the rank. In an independent part, we study the trace field for subgroups of SU(n,1). We prove that for a Zariski dense group G in SU(2,1) that contains a parabolic transformation, up to conjugation, its trace field is exactly the field generated by the coefficients of its matrices.