Sur la géométrie et la topologie des amibes et coamibes des variétés algébriques complexes

On the geometry and the typology of amoebas and coamoebas of complex algebraic varieties

• Auteur / Autrice : Mounir Nisse
• Direction : Jean-Jacques Risler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie algébrique

Variétés algébriques

Polytopes

Résumé

Un des nouveaux domaine de mathématiques pures appelé “géométrie tropicale” a vu un développement spectaculaire au cours de ces derniéres années. En géométrie énumérative, récemment Gregory Mikhalkin a donné une interprétation des invariants de Gromov-Witten en termes de géométrie tropicale en comptant des chemins entiers dans des polytopes entiers (Théorème de correspondance de Mikhalkin \cite{M2-04}). En utilisant des outils analogues, Andreas Gathmann et Hannah Markwig redécouvrent la formule de Caporaso-Harris pour les courbes complexes planes ainsi que les formules de Kontsevich pour les courbes rationnelles complexes et planes en termes de géométrie tropicale. Cette géométrie est liée à la géométrie algébrique classique par des objets géométriques appelés amibes et coamibes. La première terminologie, qui est la notion clef de la géométrie tropicale, est introduite pour la premiére fois en mathématiques par I. M. Gelfand, M. M. Kapranov et A. V. Zelevinsky en 1994. La seconde terminologie est introduite par M. Passare et A. Tsikh en 2000 dans plusieurs de leurs exposés un peu partout dans le monde. Ces formes de vie unicellulaires sont étudiées et bien connues en biologie. L'amibe plane est un objet géométrique qui fait allusion à une région ayant plusieurs trous (vocuolos) et des tentacules droites et pointues (pseudopodes). Ces tentacules atteignent l'infini et chacune d'elles se contracte exponentiellement vers un rayon (son squelette; voir la courte Note de Oleg Viro dans les Notes de l'AMS en 2002 pour une bref introduction sur les amibes). L'idée est de réduire à zéro l'épaisseur de ces amibes (bien sûr en essayant de garder le maximum d'informations géométriques , topologiques et autres propriétés de l'objet initial) et ainsi obtenir un objet tropical i. E. , purement combinatoire. Ce qui veut dire que les variétés tropicales apparaissent comme une certaine dégénérescence de ces objets. L'amibe d'une variété algébrique complexe dans l’espace complexe de dimension n est son image dans l’espace reel de dimension n par l'application logarithmique, c'est donc un objet qui vit dans l'espace réel, mais qui illustre de nombreuses caractéristiques de la variété complexe. On s'interesse dans cette these à la géométrie ainsi que la topologie de ces deux objets. On démontre plusieurs nouveaux réesultats concernant les coamibes, géométriques topologiques et combinatoires. On montre aussi leurs liens avec le polytope de Newton dans le cas des hypersurfaces, ainsi que leur similarités.