Dualité rang-niveau des blocs conformes du groupe GLn - périodes des surfaces d'Enriques polarisées par un réseau D6

Rank-level duality for conformal blocks of the group GL (n) - the period mapping of Enriques surfaces with a type D6 polarisation

• Auteur / Autrice : Rémy Oudompheng
• Direction : Arnaud Beauville
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hodge, Théorie de

Surfaces algébriques

Schubert, Variétés de

Fibrés vectoriels

Courbes algébriques

Résumé

Cette thèse est constituée de deux parties portant sur deux domaines différents de géométrie algébrique. Dans la première partie, nous étudions la dualité rang-niveau, qui a lieu entre les blocs conformes, des espaces vectoriels définis par une «théorie des champs conforme» sur une surface de Riemann X. Ceux-ci apparaissent en géométrie algébrique comme espaces de sections de fibrés en droites naturels sur les espaces de modules de fibrés vectoriels sur X. Nous étudions ici son extension aux espaces de modules de fibrés paraboliques: en suivant le modèle des travaux d'A. Marian et D. Oprea, on montre comment les liens, déjà connus, entre variétés de Schubert et fibrés paraboliques peuvent être utilisés pour prouver cette forme plus générale. Dans la seconde partie, on s'intéresse à l'application des périodes des surfaces de Campedelli. L'étude de leurs périodes se ramène à celle d'une famille de surfaces d'Enriques, revêtements du plan projectif, ramifiés le long d'une configuration de droites. Ces surfaces s'identifient en fait aux surfaces d'Enriques polarisées par un réseau D6. Une étude un peu plus fine permet d'exhiber deux espaces de modules pour ces surfaces d'Enriques, naturellement isomorphes à travers l'application des périodes. Le premier est construit par la théorie des invariants, tandis que le second est la compactification de Baily-Borel du domaine de périodes naturel des surfaces d'Enriques D6-polarisées.

This thesis consists of two distinct parts concerning different topics in algebraic geometry. In the first part, we study the rank-level duality, which exists between conformal blocks, which are vector spaces defined by a “conformal field theory” on a Riemann surface X. They appear in algebraic geometry as spaces of sections of natural line bundles on the moduli spaces of vector bundles on X. We are interested in the extension of this duality to the case of moduli of parabolic bundles: following the work of A. Marian and D. Oprea, we show how the (formerly known) relationship between Schubert varieties and parabolic bundles can be used to understand and prove this more general result. The second part is a study of a period mapping for Campedelli surfaces. It actually reduces to studying the periods of a particular family of Enriques surfaces, which are covers of the projective plane ramified along a configuration of lines. These surfaces can be identified with the Enriques surfaces polarised by a D6 lattice. More precise considerations lead to defining two moduli spaces for them, which are naturally isomorphic through the period mapping. The first one is constructed by invariant theory, whereas the second one is the Baily-Borel compactification of the natural period domain for D6-polarised Enriques surfaces.