Tomographie géométrique avec garanties topologiques

Geometric tomography with topological guarantees

• Auteur / Autrice : Pooran Memari
• Direction : Jean-Daniel Boissonnat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coupes (théorie des graphes)

Homotopie

Topologie

Géométrie algorithmique

Résumé

Le sujet de cette thèse porte sur la reconstruction de formes `a partir de coupes planaires. Dans de nombreux domaines d’application, il est nécessaire de reconstruire des formes à partir de sections. L’importance du sujet en imagerie médicale a conduit, depuis les années 1990, à des résultats importants qui sont cependant pour la plupart limités au cas de sections parallèles. Pourtant en échographie, les données obtenues au moyen d’une sonde guidée manuellement, forment une série d’images représentant des coupes de l’organe par des plans non parallèles. Cette application directe motivait le sujet de ma thèse. Dans cette thèse nous considérons le problème de la reconstruction d’une 3-variété `a bord plongée dans R3, à partir de ses intersections avec un ensemble de plans en positions arbitraires, appelées coupes. C’est pour la première fois que ce problème est étudié en toute généralité, dans le but de fournir des garanties théoriques satisfaisantes sur le résultat de la reconstruction. Aucune garantie théorique n’a été obtenue même pour le cas de coupes parallèles avant cette thèse. Dans le premier chapitre de ce manuscrit, nous étudions la méthode de reconstruction proposée par Liu et al. En 2008. Nous prouvons que si certaines conditions d’échantillonnage sont vérifiées, cette méthode permet de reconstruire la topologie de l’objet `a partir des coupes données. Nous prouvons également que l’objet reconstruit est homéomorphe (et isotope) à l’objet. Le deuxième chapitre présente une nouvelle méthode de reconstruction en utilisant le diagramme de Voronoi des sections. Cette méthode permet d’établir plus de connections entre les sections par rapport `a la première méthode. Favoriser les connections entre les sections est motivé par la reconstruction d’objets fins `a partir de sections peu denses. Nous présentons des conditions d’échantillonnage qui sont adaptées aux objets fins et qui permettent de prouver l’équivalence homotopique entre l’objet reconstruit et l’objet de départ. En effet, nous prouvons que si les plans de coupe sont suffisamment transversales `a l’objet, notre méthode de reconstruction est topologiquement valide et peut traiter des topologies complexes des sections avec plusieurs branchements. Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, nous présentons une autre méthode de reconstruction qui permet d’établir encore plus de connections entre les sections en comparant avec les deux premières méthodes. Notre méthode est basée sur la triangulation de Delaunay et suit une approche duale en considérant le diagramme de Voronoi des sections. L’algorithme correspondant a été implémenté en C++, en utilisant la bibliothèque CGAL. Les résultats de la reconstruction obtenus par cet algorithme sont très satisfaisants pour les topologies complexes des sections. En se basant sur les études que nous avons développées durant cette thèse, nous espérons pouvoir fournir un fondement solide pour le processus d’acquisition et de reconstruction des données échographiques afin d’avoir un logiciel fiable pour les diagnostics.

The purpose of this doctoral thesis is to provide a method to reconstruct three dimensional shapes from cross-sections. The principal motivation is 3D reconstruction of organs that is widely considered to be an important diagnostic aid in the medical world. However, the actual simulation results, namely in 3D ultrasonic simulation, are not reliable to be used in diagnosis. This thesis is the first geometric analysis of the reliability and the validity of reconstruction methods from cross-sectional data. Even in the case of parallel sections, no formal analysis and guarantees had been obtained before this thesis. More formally, we consider the problem of reconstructing a compact 3-manifold (with boundary) embedded in R3 from its cross-sections with a given set of cutting planes having arbitrary orientations. The first Chapter of this manuscript is devoted to analyzing a method presented by Liu et al. In 2008. We prove that under appropriate sampling conditions, the resulting reconstructed object is homeomorphic (and isotopic) to the original object. In the second chapter, we present a second reconstruction method that makes use of the Voronoi diagram of the sections. This method performs more connections between the sections comparing to the first method. Increasing the connectivity between the sections is motivated by reconstructing tree-like structures from sparse sectional data. The provided sampling conditions, leading to topological guarantees, are adapted to tree-like structures: Indeed, we show that if the cutting planes are sufficiently transversal to the surface we want to reconstruct, then the method can handle complex branching structures. Finally, in the third chapter, we show how the Voronoi-Delaunay duality allows us to perform still more connections between the sections comparing to the two first methods. The preliminary experimental results are quite promising, e. G. , regarding the practicality of the approach to reconstruct complex cross-sectional branching situations such as the coronary arterial tree. The hope is that the theoretical studies provided in this thesis will be a first step to provide solid foundations and theoretical guarantees for medical diagnostic software.