Processus multistables : propriétés locales et estimation

Multistable processes : local properties and estimation

• Auteur / Autrice : Ronan Le Guével
• Direction : Jacques Lévy Véhel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique, robotique et traitement du signal
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Nantes
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Holder, Espaces de

Processus ponctuels

Résumé

Nous étudions les propriétés probabilistes, trajectorielles et statistiques des processus stochastiques multistables, qui sont tangents en chaque point a un processus stable. Ils possèdent ainsi une intensité de sauts et une régularité locale qui varient au cours du temps. Nous nous intéressons dans un premier temps aux processus pouvant être définis par une moyenne mobile et possédant la propriété d'être localisables, c'est-a-dire d'être tangents en loi a un processus en chaque point. Des critères assurant la localisabilite, ainsi qu'une méthode de simulation de tels processus sont donnes. Nous proposons ensuite une nouvelle construction et des critères de localisabilite des processus multistables a l'aide d'une representation de type Ferguson-Klass-LePage. Pour les processus obtenus, nous étudions certaines propriétés probabilistes et trajectorielles. En particulier, nous caractérisons le comportement asymptotique des accroissements des processus multistables, ainsi que leur regularite Holderienne. Enfin, nous proposons des estimateurs de la fonction de stabilité et de la fonction de localisabilite. La consistance au sens de la convergence Lp est prouvée. Les performances des estimateurs sont illustrées sur des séries simulées suivant deux modèles : le mouvement de Levy multistable et le mouvement linéaire multifractionnaire multistable.

This PhD thesis deals with some probabilistic, pathwise and statistical properties of multistable stochastic processes, which are tangent at any point to a stable process. Their intensity of jumps and their local regularity are varying with time. We rst consider the processes possibly dened as a moving average which are localisable, that is they are tangent to a non-trivial process at any point. We give general conditions which ensure that the moving average is localisable and we characterize the nature of the associated tangent process. We also consider the problem of path synthesis, for which we give both theoretical results and numerical simulations. We present then a dierent construction of the multistable processes, based on the Ferguson-Klass-LePage series representation. We consider various particular cases of interest, including multistable Levy motion and linear multistable multifractional motion. We study then some probabilistic properties. In particular, we describe the behavior of the incremental moments and the pointwise Holder exponent. We compute the precise value of the almost sure Holder exponent in the case of the multistable Levy motion. Finally, we give two estimators of the stability and the localisability functions, and we prove the consistency of those two estimators. We illustrate these convergences with the Levy multistable process and the Linear Multifractional Multistable Motion