Géométrie algorithmique non linéaire et courbes algébriques planaires

Non-linear computational geometry for planar algebraic curves

• Auteur / Autrice : Luis Peñaranda
• Direction : Sylvain Lazard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 03/12/2010
• Etablissement(s) : Nancy 2
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Salvatore-Antoine Tabbone
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Lazard, Ioannis Z. Emiris, Stefan Schirra, Monique Teillaud, Fabrice Rouillier, Michael Sagraloff, Marc Pouget
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ioannis Z. Emiris, Stefan Schirra

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Algorithmes

Géométrie -- Informatique

Géométrie algorithmique

Mots clés libres

Géométrie algorithmique

Géométrie non-linéaire

Courbes algébriques

Topologie

Isotopie

Bit-complexité

CGAL

Noyau algébrique

Computational geometry

Non-linear geometry

Algebraic curves

Topology

Isotopy

Bit-complexity

CGAL

Algebraic kernel

Résumé

Nous abordons dans cette thèse le problème du calcul de la topologie de courbes algébriques planes. Nous présentons un algorithme qui, grâce à l’application d’outils algébriques comme les bases de Gröbner et les représentations rationnelles univariées, ne nécessite pas de traitement particulier de cas dégénérés. Nous avons implanté cet algorithme et démontré son efficacité par un ensemble de comparaisons avec les logiciels similaires. Nous présentons également une analyse de complexité sensible a la sortie de cet algorithme. Nous discutons ensuite des outils nécessaires pour l’implantation d’algorithmes de géométrie non-linéaire dans CGAL, la bibliothèque de référence de la communauté de géométrie algorithmique. Nous présentons un noyau univarié pour CGAL, un ensemble de fonctions nécessaires pour le traitement d’objets courbes définis par des polynômes univariés. Nous avons validé notre approche en la comparant avec les implantations similaires.

We tackle in this thesis the problem of computing the topology of plane algebraic curves. We present an algorithm that avoids special treatment of degenerate cases, based on algebraic tools such as Gröbner bases and rational univariate representations. We implemented this algorithm and showed its performance by comparing to simi- lar existing programs. We also present an output-sensitive complexity analysis of this algorithm. We then discuss the tools that are necessary for the implementation of non- linear geometric algorithms in CGAL, the reference library in the computational geom- etry community. We present an univariate algebraic kernel for CGAL, a set of functions aimed to handle curved objects defined by univariate polynomials. We validated our approach by comparing it to other similar implementations.