Thèse soutenue

Problèmes inverses et contrôlabilité avec applications en élasticité et IRM
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Auteur / Autrice : Nicolae Cindea
Direction : Marius TucsnakPierre-André Vuissoz
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 29/03/2010
Etablissement(s) : Nancy 1
Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECN
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius Tucsnack, Philip Batchelor, Emmanuel Trélat, Pierre-André Vuissoz, Dominique Chapelle, Jacques Felblinger, Jean-Pierre Puel
Rapporteurs / Rapporteuses : Philip Batchelor, Emmanuel Trélat

Résumé

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Le but de cette thèse est d'étudier, du point de vue théorique, la contrôlabilité exacte de certaines équations aux dérivées partielles qui modélisent les vibrations élastiques, et d'appliquer les résultats ainsi obtenus à la résolution des problèmes inverses provenant de l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Cette thèse comporte deux parties. La première partie discute la problématique de la contrôlabilité exacte, respectivement de l'observabilité exacte, de l'équation des plaques perturbées avec des termes linéaires ou non linéaires. Ainsi, dans le Chapitre 2 de cette thèse nous avons démontré l'observabilité interne exacte de l'équation des plaques perturbées par des termes linéaires d'ordre un et dans le Chapitre 3 la contrôlabilité exacte locale d'une équation des plaques non linéaire attribuée à Berger. Le Chapitre 4 introduit une méthode numérique pour l'approximation des contrôles exactes dans des systèmes d'ordre deux en temps. La deuxième partie de la thèse est dédiée à l'imagerie par résonance magnétique. Plus précisément, on s'intéresse aux méthodes de reconstruction des images pour des objets en mouvement. Dans le Chapitre 6, nous avons formulé la reconstruction d'images cardiaques acquises en respiration libre comme un problème des moments dans un espace de Hilbert à noyau reproductif. L'existence d'une solution pour un tel problème des moments est prouvée par des outils bien connus dans la théorie du contrôle. La connexion entre les deux parties de la thèse est réalisée par le Chapitre 7 où l'on présente le problème inverse d'identification d'un terme source dans l'équation des ondes à partir d'une observation correspondante à un enregistrement IRM.