Thèse soutenue

Problèmes aux limites dispersifs linéaires non homogènes, application au système d’Euler-Korteweg
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Auteur / Autrice : Corentin Audiard
Direction : Sylvie Benzoni-Gavage
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 01/12/2010
Etablissement(s) : Lyon 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan
Jury : Président / Présidente : Jean-Claude Saut
Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Coulombel, Petru Mironescu, Nikolay Tzvetkov
Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Besse, David Lannes

Résumé

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Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini.