Études combinatoires des nombres de Jacobi-Stirling et d’Entringer

Combinatorial studies about Jacobi-Stirling numbers and Entringer numbers

• Auteur / Autrice : Yoann Gelineau
• Direction : Jiang Zeng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/09/2010
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Louis Nicolas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Corteel, Masao Ishikawa
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ira Gessel, Gérard Duchamp

Mots clés

Mots clés contrôlés

Système binaire (mathématiques)

Permutations (mathématiques)

Analyse des correspondances (statistique)

Analyse combinatoire

Jacobi, Polynômes de

Mots clés libres

Combinatoire

Nombres de Jacobi-Stirling

Nombres d'Entringer

Bijections

Arbres d'André

Permutations alternantes

Nombres de Stirling

Nombres factoriels centraux

Combinatory

Numbers of Jacobi-Stirling

Numbers of Entringer

Bijections

Alternating permutations

Stirling numbers

Résumé

Cette thèse se divise en 2 grandes parties indépendantes ; la première traitant des nombres de Jacobi-Stirling, la seconde abordant les nombres d’Entringer. La première partie introduit les nombres de Jacobi-Stirling de seconde et de première espèce comme coefficients algébriques dans des relations polynomiales. Nous donnons des interprétations combinatoires de ces nombres, en termes de partitions d’ensembles et de quasi-permutations pour les nombres de seconde espèce, et en termes de permutations pour les nombres de première espèce. Nous étudions également les fonctions génératrices diagonales de ces familles de nombres, ainsi qu’une de leur généralisation sur le modèle des r-nombres de Stirling. La seconde partie introduit les nombres d’Entringer à l’aide de leur interprétation en termes de permutations alternantes. Nous étudions les différentes formules de récurrence vérifiées par ces nombres et généralisons ces résultats à l’aide d’un q-analogue utilisant la statistique d’inversion. Nous verrons également que ces résultats peuvent être étendus à des permutations de forme donnée quelconque. Enfin, nous définissons la notion de famille d’Entringer, et établissons des bijections entre certaines de ces familles. En particulier, nous établissons une bijection reliant les permutations alternantes de premier terme fixé, aux arbres binaires croissants dont l’extrémité du chemin minimal est fixée.

This thesis is constructed in two main independant parts ; the first one dealing with the numbers of Jacobi-Stirling, the second one tackling the numbers of Entringer. The first part introduces the numbers of Jacobi-Stirling of the second kind and of the first kind, as algebraic coefficients in some polynomial relations. We give some combinatorial interpretations of these numbers, in terms of set partitions and quasi-permutations for the numbers of the second kind, and in terms of permutations for the numbers of the first kind. We also study the diagonal generating functions of these sequences of numbers, and one of their generalization based on the model of r-Stirling numbers. The second part introduces the numbers of Entringer with their interpretation in terms of alternating permutations. We study the different recurrences formulas satisfied by these numbers, and refine these results with a q-analogue using the inversion statistic. We also note that these results can be extend to permutations with any fixed shape. Finally, we define the notion of Entringer family, and provide bijections between some of these families. In particular, we establish a bijection between the alternating permutations with fixed given value, and the binary increasing trees such that the end-point of the minimal path is fixed.