Stabilité d’ondes périodiques, schéma numérique pour le chimiotactisme

Stability of periodic waves, numerical scheme for chemiotaxis

• Auteur / Autrice : Valérie Le Blanc
• Direction : Pascal Noble, Francis Filbet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2010
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan
• Jury : Président / Présidente : Thierry Goudon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Benzoni-Gavage
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Philippe Laurençot, Frédéric Rousset

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions périodiques

Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique

Équations aux dérivées partielles

Chimiotaxie

Mots clés libres

Ondes périodiques

Chimiotactisme

Équations aux dérivées partielles

Stabilité asymptotique

Periodic waves

Chemiotaxis

Partial differential equations

Asymptotic L1-stability

Résumé

Cette thèse est articulée autour de deux facettes de l’étude des équations auxdérivées partielles. Dans une première partie, on étudie la stabilité des solutionspériodiques pour des lois de conservation. On démontre d’abord la stabilité asymptotiquedans L1 des solutions périodiques de lois de conservation scalaires et inhomogènes.On montre ensuite un résultat de stabilité structurelle des roll-waves. Plusprécisément, on montre que les solutions périodiques d’un système hyperbolique sansviscosité sont limites des solutions du problème avec viscosité, quand le terme deviscosité tend vers 0. Dans une deuxième partie, on s’intéresse à un système d’équationsaux dérivées partielles issu de la biologie : le modèle de Patlak-Keller-Segelen dimension 2 ; il décrit les phénomènes de chimiotactisme. Pour ce modèle, onconstruit un schéma de type volume fini, ce qui permet d’approcher la solution touten gardant certaines propriétés du système : positivité, conservation de la masse,estimation d’énergie.

This thesis is organized around two aspects of the study of partial differentialequations. In a first part, we study the stability of periodic solutions for conservationlaws. First, we prove asymptotic L1-stability of periodic solutions of scalarinhomogeneous conservation laws. Then, we show a result on structural stability ofroll-waves. More precisely, we prove that periodic solutions of a hyperbolic systemwithout viscosity are the limits of the solutions of the problem with viscosity, as theviscous term tends to 0. In a second part, we study a system of partial differentialequations derived from biology: the model of Patlak-Keller-Segel in dimension 2, describingthe phenomena of chemotaxis. For this model, we construct a finite-volumescheme, which approaches the solution while keeping some properties of the system:positivity, conservation of mass, energy estimate.