Comportements asymptotiques dans des gaz de Lorentz inélastiques

Asymptotic behavior in inelastic Lorentz gases

• Auteur / Autrice : Bénédicte Aguer
• Direction : Stephan De Bièvre, Pauline Lafitte-Godillon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/07/2010
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équilibre thermodynamique

Oscillateurs harmoniques

Systèmes hamiltoniens

Systèmes dynamiques

Processus stochastiques

Énergie mécanique

Mécanique statistique hors d'équilibre

Gaz d'électrons

Mots clés libres

Comportement asymptotique

Résumé

Nous étudions la dynamique hamiltonienne asymptotique de particules libres dans des gaz de Lorentz inélastiques, milieux possédant un nombre infini de degrés de liberté distribués dans l'espace de façon périodique ou aléatoire. On distingue deux types de comportement asymptotique, selon que le système soit dissipatif ou non. Dans le cas non-dissipatif, l'action des particules sur les degrés de liberté du gaz est négligée. Nous déterminons, numériquement et analytiquement, le comportement asymptotique en temps de l'énergie cinétique moyenne et de la variance du déplacement de particules rapides. L'analyse repose sur l'approximation du mouvement des particules par une marche aléatoire dont un pas correspond à une collision de la particule avec une particule du gaz de Lorentz. Nous montrons que les comportements sont différents suivant que la force exercée par le diffuseur dérive d'un potentiel ou non. Les résultats se démontrent par des arguments probabilistes, utilisant des théorèmes de convergence de chaînes de Markov et les processus de Bessel. Nous obtenons également le comportement asymptotique de la variance du déplacement dans ces différents cas. Dans les modèles dissipatifs, l'évolution des degrés de liberté du gaz de Lorentz est affectée par la particule et le système dynamique considéré est composé de la particule et du milieu. Nous démontrons, sur un espace des phases approprié, l'existence globale des solutions et nous construisons une mesure de Gibbs décrivant l'équilibre thermodynamique du système. Ces constructions nous permettent d'établir rigoureusement la relation d'Einstein à temps fini en présence d'une force constante extérieure

We study the hamiltonian dynamics of free particles in inelastic Lorentz gases, which are environments with an infinite number of degrees of freedom randomly or periodically distributed in space. We exhibit two differents asymptotic behaviours, depending on if the particles undergo dissipation or not.The model is called non-dissipative when the action of the particles on the degrees of freedom of the gas is neglected. We determine, numerically and analytically, the asymptotic behaviour in time of the averaged kinetic energy and the mean squared displacement of fast particles. The analysis is based on the approximation of the particles' dynamics by a random walk where one step corresponds to a unique collision of the particle with a particle of the Lorentz gas. We find different asymptotics, depending on whether the force exerted by the scatterer is or not a gradient field. These results are proved by probabilistic arguments, bringing into play convergence theorems of Markov chains and Bessel processes. We also derive the asymptotic behavior of the main squared displacement in these different cases.In dissipative models, the evolution of the degrees of freedom of the Lorentz gas is affected by the particle and the dynamical system considered is constituted of the particle and the environment. It then has an infinite number of degrees of freedom. We prove, on an appropriate phase space, the global existence of solutions and build a Gibbs measure describing the system's thermodynamic equilibrium. This enables us to prove the Einstein relation at finite time in the presence of an exterior force.