Switching optimal et équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies

par Brahim El Asri

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Saïd Hamadène.

Soutenue en 2010

à Le Mans , en partenariat avec Laboratoire manceau de mathématiques (laboratoire) .

mots clés

• Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSR)
• Équations différentielles stochastiques
• Équations aux dérivées partielles
• Solutions de viscosité
• Inégalités variationnelles

Résumé

Dans les deux premières parties, nous nous intéressons à un problème de Switching à plusieurs régimes de fonctionnement, les fonctions de profits sont à croissance polynomiale arbitraire et les fonctions de switching d’un régime à un autre (coût de Switching) non constantes dépendant de l’état et du temps. Dans la première partie, nous étudions essentiellement le cadre Markovien en horizon fini et dans la seconde nous étudions le cadre général en horizon infini. En horizon fini nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s’exprime par l’intermédiaire d’un système d’EDP paraboliques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Cette solution est construite à partir du système d’EDSR réfléchies et le principe de la programmation dynamique associés au problème du switching optimal. Puis en horizon infini, nous établissons le théorème de vérification pour lequel nous montrons l’existence d’une solution en utilisant la théorie de l’enveloppe de Snell et des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous étudions ensuite le cadre markovien et nous montrons que le théorème de vérification associé à notre problème qui s’exprime par l’intermédiaire d’un système d’EDP elliptiques avec obstacles inter-connectés à une solution unique au sens de viscosité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions les EDSRs réfléchies à deux barrières continues où les coefficients sont supposés simplement p-intégrables avec р Є (1; 2). En utilisant la notion de solution locale, nous démontrons que cette équation admet une solution unique. Comme applications, nous abordons un problème de jeu de Dynkin puis la solution au sens de viscosité d’un problème d’équation aux dérivées partielles avec deux obstacles.

Titre traduit

Optimal switching and reflected backward stochastic differential equations

Résumé

We study optimal switching and Lр-solution for doubly reflected backward stochastic differential equations. In the first part, we show existence and uniqueness of a solution for a system of m variational partial differential inequalities with inter-connected obstacles. This system is the deterministic version of the Verification Theorem of the Markovian optimal m-states switching problem. The switching cost functions are arbitrary. In the second part we study the problem of the deterministic version of the Verification Theorem for the optimal m-states switching in infinite horizon under Markovian framework with arbitrary switching cost functions. The problem is formulated as an extended impulse control problem and solved by means of probabilistic tools such as the Snell envelop of processes and reflected backward stochastic differential equations. A viscosity solutions approach is employed to carry out a fine analysis on the associated system of m variational inequalities with inter-connected obstacles. We show that the vector of value functions of the optimal problem is the unique viscosity solution to the system. Finally in the third part, we deal the problem of existence and uniqueness of a solution for à backward stochastic differential equation (BSDE for short) with two strictly separated continuous reflecting barriers in the case when the terminal value, the generator and the obstacle process are Lр-integrable with р Є (1, 2). The main idea is to use the concept of local solution to construct the global one. As applications, we obtain new results in zerosum Dynkin games and in double obstacle variational inequalities theories.