Modélisation de réseaux d'interactions par des graphes aléatoires

Random graphs as models of complex networks

• Auteur / Autrice : Antoine Gerbaud
• Direction : Didier Piau, Bernard Ycart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble) - Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Yves Colin de Verdière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Bérard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gérard Letac, Jean-François Marckert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Probabilités combinatoires

Graphes aléatoires

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Graphe aléatoire

Réseaux d'interactions

Probabilités combinatoires

Chaînes de Markov à espace d'états général

Equation aux différences stochastique

Grandes déviations

Théorie de la dimension des systèmes dynamiques

Algorithmes de graphes

Random graphs

Complex networks

Combinatorial probability

Discrete-time Markov processes on general state spaces

Stochastic difference equations

Large deviations

Dimension theory of dynamical systems

Graph algorithms

Résumé

Les réseaux d'interactions sont formellement representés par des graphes. De très nombreux modèles de graphes aléatoires ont été étudies dans la littérature, souvent de manière heuristique. Après les avoir passés en revue, nous en introduisons deux nouveaux : le modèle à attachement connexe et le modèle à seuil. Chacun engendre une suite aléatoire croissante de graphes et est suffisamment général pour englober plusieurs modèles de la littérature comme cas particuliers. Les graphes du modèle à attachement connexe possèdent une composante connexe non triviale unique. Nous démontrons d'abord des résultats portant sur le nombre et la proportion de sommets isolés. Puis dans un cas particulier, le modèle du marcheur à un pas, nous conjecturons que pour chaque sommet u, presque sûrement, l'un des deux évènements disjoints suivants est réalisé, chacun avec probabilité non nulle : soit u est de degré borne, soit la proportion des sommets du graphe voisins de u converge vers une variable aléatoire non nulle. Nous nous intéressons ensuite à l'asymptotique du degré moyen d'un sommet pour les graphes engendres par le modèle à seuil. Cela motive l'introduction de chaines de Markov particulières pour lesquelles nous donnons des conditions de récurrence et de transience.

Complex network are formally represented as graphs. Numerous ran-dom graphs models have been studied in the literature, often with heuristic meth-ods. After reviewing them, we introduce two new models: the connected attach-ment model and the threshold model. Each of them generates an increasing random sequence of graphs and is general enough to include several models of the literature as particular cases. The graphs generated by the connected attachment model have a unique nontrivial connected component. First, we prove several results on the number and the ratio of isolated vertices. Then, in a particular case called the one-step walker model, we conjecture that for each vertex u, almost surely, one of the two following disjoint events occurs, each with positive probability: either u has bounded degree or the ratio of neighbors of u in the graph converges to a positive random variable. Then, we focus on the asymptotic of the mean degree of a vertex for the graphs generated by the threshold model. This motivates the introduction of particular Markov chains for which recurrence and transience conditions are given.