Processus de diffusion sur un flot de variétés riemanniennes

Diffusion processus on a riemannian manifolds flow

• Auteur / Autrice : Abdallah Hiba
• Direction : Gérard Besson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riemann, Hypothèse de

Laplacien

Résumé

Le but de 1ft thèse est de relier entre les propriétés de ditr1l8ion des variétés riemannietmes et leur géométrie. On veut plonger une fiunille de variétés riemannietmes dont la métrique est dépendante d'un pllfalllètre t dans un espace de Hilbert pftf ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t» telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G. P. S et donne betlUCOUp d'infOrmations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de 1ft chaleur non linéaire sur (M, g(t» telle que g(t) soit de volume constant. Finalemetlt, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'ftvémit vraie, on poumrit plonger (M, g(t» dans Wl espftCe de Hilbert à l'aide de P.

Ln thls theos, we create Dnks between tbe properties of dlffuoon of tbe Riemannlan manifold and 111 geometry. We embedd a faml. Ly of Riemannlan manifolds whose metrle Is time dependent, Into a Hllbel't space wlth Its duffusloo properties. Namely, via tbe elgenfunetions of the eorrespondlng I8plllelan or 111 heat kernel. We prove tbat we ean eonstrud embeddlngs via a flnlte number of elgenfunctions for an familles of Riemannlan manifolds (M, g(t» sneh tllat g(t) Is analytlc ln t. If the volume of (M, g(t» Is constant, we cao eonst. Rud an embeddlng witll a complete elgenfnnetlons basls. This embeddlog will be eaDed the G. P. S embeddiog. Thil embeddlng Is very informative regardlng thls famDy of maolfolds. Tl1en, we eonlt. Rud the fundamentallolutlon P for tl1e non-Dnear lIeat eqnatlon aetlng on (M,g(t», Incll tbat tl1e volume (M, g(t» Is constant. FlnaDy we give Il conjecture on tbe asymptotic formula of P, and we prove tl1at, If tlils conjecture Is true, we can embed (M,g(t» loto a Hilbert space via P.