Conjecture de Zilber-Pink pour les sous-variétés des tores

The multiplicative case of the Pink conjecture

• Auteur / Autrice : Guillaume Maurin
• Direction : Gaël Rémond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Tore (géométrie)

Résumé

Étant donné une sous-variété X d'un tore multiplicatif A sur Q, on étudie l'intersection de X(Q) et de la réunion A[m] des sous~ groupes algébriques de A de codimension m = dim X +- 1. Ceci rentre dans le cadre des conjectures proposées par Zilber et Pink et fait suite aux travaux de Bombieri, Masser et Zannier. Notre résultat principal s'énonce ainsi: si X est non dégénérée, alors pour tout SOlls-groupe de rang fini r de A(Q), il existe un cône au sens de la hauteur autour de rAJm] de rayon strictement positif dont les points ne sont pas denses dans X. Le cas r = 1 a déjà été démontré par Habegger. Nous déduisons notre résultat d'une inégalité de Vojta uniforme combinée à de bonnes estimations sur le problème de Bogomolov effectif. Par approximation diophanti-enne, le cœur de la preuve consiste à minorer certains nombres d'intersection provenant d'une famille d'éclatements d'une com-pactification donnée de Xm. Pour cela, nous nous appuyons sur des propriétés de non-annulation et d'homogénéité de ces nom-bres. Nous démontrons ici ces propriétés de manière analytique en rious ramenant à l'étude d'intégTales de classes de Chern sur des désingularisations uniformes convenables.