Des orbites périodiques et des attracteurs des systèmes dynamiques

Periodic orbits ans attractors of dynamical systems

• Auteur / Autrice : Yury Kudryashov
• Direction : Étienne Ghys
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Lyon, Ecole normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)

Mots clés

Mots clés libres

Attracteur

Produit croisé

Billard dynamique

Attractor

Shew product

Dynamical billiard

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes dynamiques. Dans le chapitre « Attracteurs osseux », on discute les attracteurs des systèmes dynamiques. Nous allons construire un ouvert de difféomorphismes T³ ayant le nouveau type de comportement asymptotique. Chaque système F de cette ouverte a le comportement suivant. Tout d'abord, F possède une fibration invariante du tore en cercles. Ensuite, F a un attracteur unique, qui croise la plupart des fibres sur un seul point, et coupe le reste des fibres sur les arcs (les os). L'ensemble des os est grand (dense dans l'attracteur) mais pas trop gros (est de mesure nulle). Dans le chapitre 2 « Billards », on discute les orbites périodiques des billards planaires. Les résultats de ce chapitre ont été obtenus en collaboration avec A. Glutsyuk, UMPA, ENS Lyon. Nous allons démontrer que pour chaque billard planaire l'ensemble des orbites de période 4 est de mesure nulle dans l'ensemble de toutes les orbites.

This thesis is devoted to dynamical systems. Chapter 1 « Attracteurs osseux » (« Bony attractors ») is devoted to attractors of dynamical systems. We have constructed an non-empty open set of diffeomorphismes ot tore T³ having a new. Each system F from this open set has the following properties. First of all, F possesses an invariant fibration of T³ on circles. Next, F has a unique attractor that intersects most of the fiber on one point, and intersects all other fibers by arcs (bones). The set of bones is large (dense in the attractor) but not too large (has measure zero). Chapter 2 « Billiards » is devoted to periodic orbits in planar billiards. The results of this chapter were obtained in collaboration with A. Glutsyuk, UMPA, ENS Lyon. We have shown that for any planar billiard, the set of quadrilateral orbits has measure zero in the space of all orbits.