Modèle discret et intégrales premières en théorie KAM faible

Discrete model and first integrals in weak KAM theory

• Auteur / Autrice : Maxime Zavidovique
• Direction : Albert Fathi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Lyon, Ecole normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solutions de viscosité

Mots clés libres

Theorie KAM faible

Theorie d'Aubry-Mather

Potentiel de Mañé

Semi-groupes de Lax-Oleinik

Crochet de Poisson

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux problèmes concernant le semi-groupe de Lax-Oleinik et étudions leurs conséquences en théorie KAM faible. Le premier concerne des généralisations des théories d'Aubry-Mather et KAM faible de Fathi suite à une discrétisation en temps par rapport au modèle classique Hamiltonien. Ceci est traité en deux temps. Dans un premier temps, nous introduisons dans un cadre assez général d'espaces métriques, les outils de théorie KAM faible. On montre que les sous-solutions critiques peuvent ne pas être continue et on étudie leurs discontinuités à l'aide du potentiel de Mañé. On construit aussi des sous-solutions strictes continues. Dans une seconde partie, en se plaçant dans un cadre plus régulier, on construit des sous-solutions C^{1,1}. Le second problème traite, dans le cadre Hamiltonien Tonelli classique, des relations entre semi-groupes de Lax-Oleinik, théorie d'Aubry-Mather et théorie KAM faible pour des Hamiltoniens qui commutent au sens de Poisson.

In this thesis, we were interested in two problems concerning the Lax-Oleinik semi-group and studied their implications in weak KAM theory. The first one is concerned with generalizations of the Aubry-Mather and weak KAM theories under a time discretization regarding the classical Hamiltonian model. This is done in two parts. First, we introduce in a fairly general framework of metric spaces the tools of weak KAM theory. We show the critical sub-solutions may fail to be continuous and study their discontinuities thanks to the Mañé potential. We also construct continuous strict sub-solutions. In a second part, we construct, in a more regular framework, C^{1,1} sub-solutions. The second problem deals with relationships between the Lax-Oleinik semi-groups, the Aubry-Mather and weak KAM theories for Poisson-commuting Hamiltonians in the classical Tonelli Hamiltonian setting.