Solutions multi-rogue de l'équation NLS focalisante

Multi-rogue solutions to the focusing NLS equation

• Auteur / Autrice : Philippe Dubard
• Direction : Vladimir Borisovich Matveev, Christian Klein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2010
• Etablissement(s) : Dijon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot (Dijon ; .....-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Hans-Rudolf Jauslin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : John Dudley, Vladimir Roubtsov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Efim Pelinovsky

Mots clés

Mots clés contrôlés

Darboux, Transformations de

Vagues scélérates

Mots clés libres

Ondes scélérates

Trois soeurs

Equation NLS

Equation KPI

Solutions rationnelles

Transformation de Darboux

No english keywords

Résumé

L’étude des ondes scélérates est un sujet en plein essor principalement en océanographie mais également dans d’autres domaines. Dans cette thèse, je construis par transformation de Darboux une famille multi-paramétrique de solutions quasi-rationnelles lisses de l’équation de Schödinger non linéaire qui présentent un comportement d’ondes scélérates. Pour un choix générique de paramètres les solutions de deuxième ordre donnent un modèle de "trois sœurs" (une succession de trois vagues plus hautes que prévues) alors que pour un choix particulier de paramètres on obtient les solutions présentées par Akhmediev et al. dans une série d’articles de 2009. Ces solutions me permettent ensuite de construire des solutions rationnelles de l’équation KP-I qui décrit le mouvement des vagues dans une eau peu profonde.

The study of rogue waves is a booming topic mainly in oceanography but also in other fields. In this thesis I construct via Darboux transform a multi-parametric family of smooth quasi-rational solutions of the nonlinear Schödinger equation that present a behavior of rogue waves. For a general choice of parameters the second-order solutions give a model of "three sisters" (three higher than expected waves in a row) while for a particular choice of parameters we obtain the solutions given by Akhmediev et al. in a serie of articles in 2009. Then these solutions allow me to construct rational solutions of the KP-I equation that describe waves in shallow water.