Méthodes de sur et sous-solution pour la résolution des équations aux dérivées partielles non linéaires et contrôlabilité

Method of upper and lower solutions for the resolution of nonlinear partial differential equations and controllability

• Auteur / Autrice : Ferid Beldi
• Direction : Françoise Demengel, Patrick Courilleau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Cergy-Pontoise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : THEMA Théorie économique, modélisation et applications (Cergy ; 2006-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Point fixe, Théorème du

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Sur et sous-solutions

Contrôlabilité

Principe de comparaison

Résumé

Cette thèse a pour sujet l’étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. Elle traite aussi la contrôlabilité de certaines équations paraboliques dégénérées. Dans le premier chapitre, on rappelle quelques méthodes classiques pour la résolution de certains types d’équations faisant intervenir le p-Laplacien, en utilisant les notions de sur et sous-solutions. Ces méthodes présentent certaines difficultés liées surtout aux passages à la limite dans les termes non linéaires liés au p-Laplacien. Pour cela on propose dans le deuxième chapitre de résoudre ces équations en utilisant une méthode de point fixe basée sur le fameux théorème de « Browder-Potter » qui nous a permis d’éviter ces inconvénients. Dans le troisième chapitre, on étudie un problème d’évolution faisant apparaître le p-laplacien, on montre un résultat d’existence et d’unicité, on obtient des résultats sur le comportement asymptotique des solutions par rapport au temps en fonction de la donnée initiale. Dans le dernier chapitre, et dans le but de s’intéresser à un problème de contrôle non linéaire faisant apparaître le p-Laplacien, on étudie un problème de contrôle linéaire en dimension 1, on expose des résultats obtenus pour des problèmes paraboliques ayant une dégénérescence à l’intérieur du domaine.

This thesis has as subject the study of nonlinear partial differential equations. It also deals with the controllability of some degenerate parabolic equations. In the first chapter, we recall some classical methods for the resolution of certain types of equations involving the p-Laplacian, by using the concept of lower and upper-solutions. These methods have some difficulties, especially in passages to the limit in the nonlinear terms linked to the p-Laplacian. For that we propose in the second chapter to solve such equations by using fixed point method based on the famous theorem of ''Browder-Potter'' which allowed us to avoid these disadvantages. In the third chapter, we study an evolution problem involving the p-laplacian, we prove existence and uniqueness result, and we obtain results on the asymptotic behaviour of solutions in time according to initial data. In the last chapter, and in order to focus on a nonlinear control problem involving the p-Laplacian, we study the one dimension linear control problem, we expose the results obtained for parabolic problems with degeneracy occurs at the interior of the space domain.