Sur la theorie spectrale des opérateurs de Schrödinger discrets

• Auteur / Autrice : Sofiane Akkouche
• Direction : El Maati Ouhabaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 19/11/2010
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : A. Bachelot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : S. Kupin, Emmanuel Russ
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joachim Von Below, V. Georgescu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Théorie des graphes

Schrödinger, Opérateur de

Mots clés libres

Opérateurs de Schrödinger

Spectre

Bornes

Fonctions spectrales

Graphes

Schrödinger operators

Spectrum

Bounds

Spectral functions

Graphs

Résumé

Cette thèse traite de la théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger discrets H(λ) := - Δ + b sur Zd et plus généralement sur des graphes pondérés infinis. Plus précisément, nous étudions le comportement des fonctions spectrales qui représentent les bornes du spectre de ces opérateurs. Un des principaux résultats est l'obtention d'une condition nécessaire et suffisante sur le potentiel b pour que le bas du spectre soit strictement positif. L'étude du haut du spectre est également considérée.Nous étudions tout d'abord ces questions pour les opérateurs de Schrödinger discrets sur Zd. La régularité de cet espace permet alors d'obtenir des résultats spécifiques dans ce cas particulier. Nous généralisons ensuite nos travaux au cas des graphes infinis pondérés. Les techniques développées dans ce cadre nous permettent également d'étudier le comportement asymptotique du bas du spectre pour les grandes valeurs de λ.

This thesis deals with the spectral theory of discrete Schrödinger operators H(λ) := - Δ + b on Zd and more generally on in#nite weighted graphs. Precisely, we study the behavior of the spectral functions which represent the spectral bounds of these operators. One of the main results is the obtention of a necessary and sufficient condition on the potential b such that the bottom of the spectrum is stricly positive.The study of the top of the spectrum is also treated.We first study these questions for discrete Schrödinger operators on Zd. The regularity of this space provides specific results in this particular case. Then we extend our work to the case of infinite weighted graphs. Moreover, the technics developed in this framework allow us to study the asymptotic behavior of the bottom of the spectrum for large values of λ.