Intégration numérique et calculs de fonctions L

• Auteur / Autrice : Pascal Molin
• Direction : Karim Belabas
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures - Théorie des nombres
• Date : Soutenance le 18/10/2010
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Henri Cohen, Jean-Marc Couveignes, Régis Du Moulin de la Bretèche, Ahmed Sebbar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Eduardo Friedman, Michael Rubinstein

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie algorithmique des nombres

Fonctions L

Intégration numérique

Mots clés libres

Intégration numérique

Fonctions L

Intégration double-exponentielle

Théorie algorithmique des nombres

Numerical integration

L functions

Double exponential formulas

Algorithmic number theory

Résumé

Cette thèse montre la possibilité d’une application rigoureuse de la méthode d’intégrationnumérique double-exponentielle introduite par Takahasi et Morien 1974, et sa pertinence pour lescalculs à grande précision en théorie des nombres. Elle contient en particulier une étude détailléede cette méthode, des critères simples sur son champ d’application, et des estimations rigoureusesdes termes d’erreur.Des paramètres explicités et précis permettent de l’employer aisément pour le calcul garantide fonctions définies par des intégrales.Cette méthode est également appliquée en détail au calcul de transformées de Mellin inversesde facteurs gamma intervenant dans les calculs numériques de fonctions L. Par une étude unifiée,ce travail démontre la complexité d’un algorithme de M. Rubinstein et permet de proposer desalgorithmes de calcul de valeurs de fonctions L quelconques dont le résultat est garanti et dont lacomplexité est meilleure en la précision.

This thesis contains a detailed study of the so-called double exponential integration formulasintroduced by Takahasi and Moriin 1974,and provides explicit bounds forarigorous applicationof the method in number theory.Accurate parameters are given, which makes it possible to use it as a blackbox for the rigorouscomputation of functions defined by integrals.It also deals with numerical computations of L functions. The complexity of analgorithm dueto M. Rubinstein is proven. In the context of double-exponential transformation, a new algorithmis provided whose complexity is low in terms of precision.