Résultats asymptotiques pour les modèles ARX en poursuite adaptative

Asymptotical results for models ARX in adaptive tracking

• Auteur / Autrice : Víctor Hugo Vázquez Guevara
• Direction : Bernard Bercu, Raúl Montes de Oca
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 10/06/2010
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Rolando Cavazos Cadena, Jean-François Dupuy, Jean-Claude Fort, Fabrice Gamboa, Onésimo Hernandez-Lerma, Miguel Antonio Jimenes Pozos

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes -- Identification -- Modèles ARX

Commande, Théorie de la

Systèmes adaptatifs

Programmation stochastique

Théorème de la limite centrale

Mots clés libres

Modèles autorégressifs controlés

Algorithmes stochastiques

Statistique de Durbin-Watson

Poursuite adaptative

Convergence presque sure

Forte contrôlabilité

Théorème limite centrale

Complément de Schur

Loi du logarithme itéré

Résumé

Cette thèse est consacrée aux résultats asymptotiques pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Elle est constituée de quatre parties. La première partie est une brève introduction sur les modèles ARMAX et un état de l’art des principaux résultats de la littérature en poursuite adaptative. La seconde partie porte sur l’introduction d’un nouveau concept de contrôlabilité forte pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Il permet de généraliser les résultats antérieurs. On montre la convergence presque sûre des algorithmes des moindres carrés ordinaires et pondérés. On établit également le théorème de la limite centrale ainsi que la loi du logarithme itéré pour ces deux algorithmes. La troisième partie est dédiée aux modèles ARX qui ne sont pas fortement contrôlables. On montre que, via un contrôle de poursuite excité, il est possible de s’affranchir de l’hypothèse de forte contrôlabilité. La quatrième partie est consacrée au comportement asymptotique de la statistique de Durbin-Watson pour les modèles ARX en poursuite adaptative via des arguments martingales.

This thesis is devoted to asymptotical results for ARX models in adaptive tracking. It is divided into four parts. The first part is a short introduction on ARMAX models together with a state of the art on the main results in the literature on adaptive tracking. The second part deals with a new concept of strong controllability for ARX models in adaptive tracking. This new notion allows us to extend the previous convergence results. We prove the almost sure convergence for both least squares and weighted least squares algorithms. We also establish a central limit theorem and a law of iterated logarithm for these two algorithms. The third part is dedicated to ARX models that are not strongly controllable. Thanks to a persistently excited adaptive tracking control, we show that it is possible to get rid of the strong controllability assumption. The fourth part deals with the asymptotic behaviour of the Durbin-Watson statistic for ARX models in adaptive tracking via a martingale approach.