Asymptotic behavior of solutions of a Schrodinger-Poisson system in three dimensional space

• Auteur / Autrice : Amna Dabaa
• Direction : Olivier Goubet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Amiens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Attracteurs (mathématiques)

Schrödinger, Équation de

Résumé

Nous étudions le comportement pour les grands temps des solutions de l’équation de Schrödinger-Poisson (NLSP) avec un terme de force extérieure supplémentaire et un terme de dissipation d’ordre zéro. L’équation de Schrödinger-Poisson, appelée aussi équation de Hartree, présentée avec amortissement et force extérieure, s’écrit {ut + γu + i∆u + iuφ = f, (3. 60) {±∆φ = |u|2. L’équation ±∆φ = |u|2 avec le signe −, i. E −∆φ = |u|2 correspond au cas focalisant, avec le signe + correspond au cas défocalisant. Notre travail se divise en deux parties. Dans la première partie, on travaille avec des conditions aux limites φ = u = 0 sur ∂Ω. Nous démontrons que le comportement des solutions est décrit par un attracteur qui attire toutes les trajectoires dans H01(Ω). De plus on montre que notre attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans H01(Ω). La force extérieure f est supposée dans L2(Ω) et γ > 0 est le paramètre d’amortissement. L’inconnue u(t, x) est une fonction à valeurs complexes ; dans la suite u(t) = u(t,. ) ∈H01(Ω). Dans la deuxième partie, on démontre le comportement des solutions est décrit par un attracteur qui attire toutes les trajectoires dans H 1(R3). De plus on montre que notre attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans H 1(R3). Ici l’inconnue u : R3 x × Rt → C et le potentiel φ est à valeurs réelles. La force extérieure f est supposée dans L2(R3) et γ > 0 est le paramètre d’amortissement. L’inconnue u(t, x) est une fonction à valeurs complexes ; dans la suite u(t) = u(t,. ) ∈H 1(R3).