Des ouverts Zariski et des morphismes lisses en géométrie relative

Zariski open immersions and smooth morphisms in a relative geometry

• Auteur / Autrice : Florian Marty
• Direction : Bertrand Toën
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morphismes (mathématiques)

Topologie algébrique

Schémas (géométrie algébrique)

Zariski, Surfaces de

Mots clés libres

Schéma

Ouvert Zariski

Contexte relatif

Préfaisceaux simpliciaux

Filtre de Gabriel

Lissité

Corps à un élément

Droite affine

Résumé

Dans cette thèse, l'auteur étudie la théorie des schémas relatifs telle qu'elle est définie par B. Toën et M. Vaquié dans leur article ''Au dessous de Spec(Z)''. Il se penche plus particulièrement sur l'étude des ouverts Zariski et des morphismes lisses dans un cadre relatif sans hypothèse d'additivité sur la catégorie de base. Le premier résultat obtenu est une description en terme d'idéaux premier relatifs de l'espace topologique de Zariski, associé à une schéma relatif affine. Le second résultat de la thèse est la définition d'une notion de morphisme lisse relatif, entre monoïdes, qui généralise la notion de morphisme lisse entre anneaux. L'auteur démontre en particulier que la droite affine est lisse dans tout contexte suffisamment régulier, tel que celui des schémas au dessus du corps à un élément (* -> N est lisse) ou celui des N-schémas (N ->N[X] est lisse)3.

In this thesis, the author work on the relative scheme theory defined by B. Toën and M. Vaquié in the article ''Au dessous de Spec(Z)''. More precisely, he studies the properties of Zariski open immersions and smooth morphisms in a relative context, not necessarily additive. The first issue is a description in terms of prime ideals of the Zariski topological space associated to a relative affine scheme. The second issue is a definition of a notion of relative smooth morphism, between monoids, which recover the notion of smooth morphism between rings. The author proves in particular that the affine line is smooth in most relative contexts, as for example the context of scheme over the field with one element (* -> N is smooth) or the context of N-schemes (N ->N[X] is smooth).