Approximation numérique de quelques équations cinétiques préservant leurs asymptotiques fluides

Numerical approximation of some kinetic equations preserving their fluid asymptotics

• Auteur / Autrice : Mounir Bennoune
• Direction : Mohammed Lemou, Luc Mieussen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Équations cinétiques

Développements asymptotiques

Mots clés libres

Equation de Boltzmann

Equation BGK

Equations de Navier-Stokes compressible

Développement de Chapman-Enskog

Décomposition micro-macro

Equation de Kac

Limite de diffusion

Développement de Hilbert

Schémas préservant l'asymptotique

Résumé

Cette thèse est une contribution au développement de schémas numériques préservants l'asymptotique pour des équations cinétiques. Elle est constituée de deux parties. La première partie concerne le développement de schémas numériques pour des équations cinétiques de type Boltzmann, qui soient capables de préserver lors du passage au régime hydrodynamique la limite Euler ainsi que l'asymptotique Navier-Stokes compressible (qui n'est pas une limite). Notre stratégie consiste à réécrire l'équation cinétique de départ comme un système équivalent couplant une partie cinétique et une autre macroscopique, en utilisant une décomposition micro-macro de la fonction de distribution comme la somme de sa (maxwellienne) partie d'équilibre et une perturbation. Les simulations numériques sont réalisées sur le modèle BGK unidimensionnel, et ensuite généralisées pour ce même modèle à une dimension supérieure en vitesse. La deuxième partie porte sur la construction de schémas numériques préservant la limite de diffusion pour l'équation de Kac. Ce modèle unidimensionnel est plus simple que l'équation de Boltzmann. Néanmoins, il a la même structure quadratique tandis que les modèles utilisés précédemment sont seulement des opérateurs de relaxation. Par contre, contrairement à l'équation de Boltzmann la limite macroscopique non triviale correspondante au modèle de Kac est une équation de diffusion non linéaire. Cette partie contient aussi la construction d'une discrétisation déterministe de l'opérateur de Kac. Cette discrétisation est effectuée sur une nouvelle formulation plus simple et moins coûteuse de cet opérateur. Plusieurs simulations sont réalisées afin de valider cette discrétisation ainsi que le schéma préservant la limite de diffusion.

This thesis is a contribution in the development of asymptotic preserving numerical schemes for kinetic equations. This work contains two parts. The first one is concerned with the development of numerical schemes for like Boltzmann kinetic equations, which are able to preserve the Euler limit as well as the compressible Navier-Stokes asymptotics (which is not a limit) near the hydrodynamical regime. Our strategy consists in rewriting the kinetic equation as a coupled system of kinetic part and macroscopic one, by using the micro-macro decomposition of the distribution function as a sum of its corresponding (Maxwellian) equilibrium distribution plus the deviation. The simulations are performed for the one-dimensional BGK model, and then extended for this model in higher velocity dimension. The second part is concerned with the construction of asymptotic preserving scheme in the diffusion limit for the Kac's equation. This model is much simpler that the Boltzmann equation (it is one dimensional), but it has the same quadratic structure, while the models used in the previous part were only relaxation operators. However, contrary to the Boltzmann equation, the natural fluid limit of the Kac model is a non linear diffusion equation. We also construct in this part a deterministic velocity discretization for the collisional operator. Such discretization is based on a simple new formulation of the Kac operator. Several simulations are presented in order to illustrate the efficiency of our approach.