Etude d'équations d'évolution en géométrie globale avec des méthodes probabilistes

Study of evolutions equations in global geometry using stochastic methods, and applications to the Ricci and mean curvature flow

• Auteur / Autrice : Abdoulaye Koléhè Coulibaly-Pasquier
• Direction : Marc Arnaudon, Anton Thalmaier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et ses applications
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Poitiers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transport optimal de mesure

Ricci, Flot de

Processus stochastiques

Mouvement brownien, Processus de

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, à une famille de métriques sur une variété nous associons un mouvement brownien. Nous construisons un transport parallèle stochastique au-dessus de ce processus. Avec une forme intrinsèque du flot stochastique, nous définissons une notion de transport parallèle déformé au-dessus de ce processus. Nous caractérisons le flot de Ricci comme étant le seul flot sur les métriques garantissant l'égalité du tranport parallèle et du transport parallèle déformé. Dans ce cas, le transport parallèle déformé est une isométrie. Nous en déduisons des propriétés sur le flot de Ricci. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au flot à courbure moyenne d'une hypersurface. Nous construisons ainsi un processus sans naissance et nous montrons son unicité en loi quand la variété de départ est strictement convexe. Quand l'hypersurface de départ n’est pas strictement convexe nous avons néanmoins une famille de martingales dont les points de départ sont sur une ''variété'' singulière. Dans la dernière partie, nous construisons une diffusion dans l'espace des courbes sur une variété. Nous en déduisons des conditions suffisantes pour obtenir des propriétés de contraction - pour plusieurs distances de Wasserstein - entre deux mesures de probabilité représentant la densité de deux diffusions d'opérateur elliptique inhomogène quelconque. Ainsi, cette nouvelle construction produit une alternative entièrement probabiliste aux calculs d'Otto utilisés par Lott pour arriver à des résultats similaires.

In the first part of this thesis, for a family of metrics on a manifold we associate a Brownian motion. We build a parallel stochastic transport above this process. With a kind of intrinsic stochastic flow, we define a notion of damped parallel transport above this process. We characterize the Ricci flow as the only flow of metrics that guarantees the equality between the parallel transport and the damped parallel transport. We deduce some properties of the Ricci flow. On the second hand, we study the mean curvature flow of a hypersurface. We build a process without birth and we prove the uniqueness in law of such a process when the initial hypersurface is strictly convex. When it is not strictly convex we obtain a family of martingales that start in a singular “manifold”. In the last part, we build a diffusion in the space of regular curves on some manifold. We deduce sufficient conditions to obtain some contraction properties - for a large class of Wasserstein distances - between two measures of probability that represent the density of two diffusions associated with an inhomogeneous elliptic operator. So this new construction yields a totally probabilistic alternative to the Otto calculus used by Lott to obtain similar results.