Fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young : caractères du groupe symétrique et polynômes de Kerov

Functions on the set of Young diagrams : characters of the symmetric groups and Kerov polynomials

• Auteur / Autrice : Valentin Feray
• Direction : Philippe Biane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/03/2009
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Communication, Modélisation et Simulation (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009) - Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge / LIGM
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Biane, Grigori Olshanski, Gilles Schaeffer, Alain Lascoux, Vic Reiner, Jean-Yves Thibon
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Grigori Olshanski, Gilles Schaeffer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Factorisation

Groupes de symétrie

Fractions

Analyse combinatoire

Polynômes

Mots clés libres

Théorie des représentations

Cartes

Poinçonnage

Groupe symétrique

Factorisations d'une permutation

Ensembles ordonnés

Mapps

Polynomes de Kerov

Elements de Jucys Murphy

Résumé

Cette thèse concerne les valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). Avec une bonne renormalisation, les caractères s’écrivent comme des polynômes en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires d’une part et en fonction des cumulants libres d’autre part ( ce sont des observables du diagramme apparaissant naturellement dans des problèmes d’asymptotique). Nous avons donné des interprétations combinatoires des coefficients de ces différentes expressions. Celles-ci peuvent s’exprimer en termes de cartes, dont le genre est lié au comportement asymptotique du terme correspondant. Ce type d’expression permet d’une part de bien comprendre le comportement asymptotique : nous avons ainsi amélioré les bornes connues sur les caractères ainsi que le domaine de validité d’équivalents classique. D’autre part, la combinatoire apparaissant dans ces questions est riche et a pu être utilisée dans l’étude d’identité sur des fractions rationnelles

The main object of this thesis is the (normalized) irreducible character values of the symmetric group, seen as a function of the partition indexing the representation (and not of the permutation on which we compute the character value). With a good rescaling, the characters can be written as polynomials in so-called Stanley coordinates or in terms of free cumulants (the latter are observables of the diagram, which appear naturally in the asymptotics study of character values). We give a combinatorial interpretation for the coefficients of these two expressions. More precisely, the summans are indexed by maps, whose genus is linked with their asymptotic behaviour. This kind of expression is very useful to obtain asymptotic results : for example, one has given upper bounds on character values and enlarged the domain of validity of some known equivalents. Moreover, the combinatorics involved in these questions is interesting and has been applied to identities on rational functions