Quantum local asymptotic normality and other questions of quantum statistics

• Auteur / Autrice : Jonas Kahn
• Direction : Pascal Massart, Richard D. Gill
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Thermodynamique statistique

Mots clés libres

Normalité asymptotique locale

Canal unitaire

Détection homodyne

POVMs propres

Sélection de modèles

Résumé

Cette thèse aborde plusieurs problèmes de statistiques quantiques, où il faut partir de l'objet et non des données après mesure. Nous utilisons des méthodes de sélection de modèles en tomographie quantique homodyne, et appliquons nos résultats à la calibration d'un compteur de photons. Nous étudions la discrimination optimale minimax d'états quantiques ou de canaux de Pauli. Nous mettons au point une méthode d'estimation d'opération unitaire de vitesse de convergence 1/n. Nous donnons un critère suffisant pour qu'une mesure soit propre, au sens de Buscemi et al. , et nous en servons pour caractériser les mesures propres sur les qubits. Nous démontrons qu'il ne peut pas y avoir cinq sous-algèbres complémentaires isomorphes à M2(C) dans M4(C). Le thème principal reste la normalité asymptotique locale quantique forte. Nous prouvons que les expériences i. I. D. Sont asymptotiquement équivalentes à des expériences de décalage gaussien quantiques. En d'autres termes, de nombreuses copies d'un système de dimension finie correspondent d'un point de vue statistique à une copie d'un état gaussien d'une algèbre CCR de bonne dimension, dont le paramètre inconnu est la moyenne, au sens où il existe des canaux transformant l'un en l'autre, sans connaître l'état précis. Nous montrons comment un couplage atome-champ usuel permet de réaliser le canal pour des qubits. Ainsi, tous les problèmes résolus pour les expériences de décalage gaussien quantiques le sont asymptotiquement pour les expériences i. I. D. En particulier, nous donnons explicitement une méthode d'estimation optimale pour toute «bonne» fonction de perte, dans les cadres minimax ou bayésien uniforme.

The thesis deals with miscellaneous quantum statistics problems, where the starting point is the object itself, instead of measurement data. We use model selection methods on quantum homodyne tomography. We apply our results to photocounter calibration. We study optimal discrimination of quantum states and Pauli channels, in a minimax setting. We devise an estimation scheme for unitary transformations, which has 1/n convergence speed. We give a sufficient condition for a measurement to be clean, as defined by Buscemi et al. , and characterise clean measurements on qubits. We prove there are not five complementary subalgebras isomorphic to M2(C) in M4(C). The main theme is strong quantum local asymptotic normality. We prove that i. I. D. Experiments are asymptotically equivalent to quantum Gaussian shift experiments. Ln other words, many copies of a finite-dimensional system correspond to a single copy of a Gaussian state on a CCR-algebra of the right dimension, with mean as unknown parameter. This means that there are channels that transform one state into the other, and back, without knowing the precise state. Hence, all problems solved for quantum Gaussian shift experiments are asymptotically solved for i. I. D. Experiments, ln particular, we give an explicit optimal estimation method for any well-behaved loss function, both in the minimax and Bayesian uniform frameworks.