Estimation adaptative par sélection de partitions en rectangles dyadiques

Adaptative estimation by selecting a best partition into dyadic intervals

• Auteur / Autrice : Nathalie Akakpo
• Direction : Cécile Durot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Besov

Inégalités (mathématiques)

Modèles mathématiques

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes d'estimation par sélection d'estimateurs constants ou polynomiaux par morceaux sur des partitions en intervalles ou rectangles dyadiques, en utilisant un critère de type moindres carrés pénalisé adéquat. Nos travaux portent sur trois sujets différents. Nous nous intéressons tout d'abord à l'estimation d'une loi de probabilité discrète, ainsi qu'à une application à la détection de ruptures multiples. Puis, nous proposons un cadre unifié pour l'estimation fonctionnelle basée sur des données éventuellement censurées. Enfin, nous étudions simultanément l'estimation de densité et de densité conditionnelle pour des données dépendantes. Le choix de la collection de partitions en intervalles ou rectangles dyadiques s'avère intéressant aussi bien en théorie qu'en pratique. En effet, notre estimateur pénalisé vérifie dans chacun des cadres une inégalité de type oracle non-asymptotique, pour une pénalité bien choisie. Il atteint également la vitesse minimax à constante près sur de nombreuses classes de fonctions de régularité éventuellement non homogène et non isotrope. Cette propriété repose sur des résultats d'approximation dont les preuves sont inspirées d'un article de DeVore et Yu. Par ailleurs, le calcul de notre estimateur est basé sur un algorithme de plus court chemin dont la complexité est seulement linéaire en la taille de l'échantillon.

In this thesis, we study several estimation problems by selection of a best piecewise constant or piecewise polynomial estimator built on a partition into dyadic intervals or rectangles, using an adequate least-squares type criterion. Our works are devoted to three topics. First, we are concerned with discrete distribution estimation and provide an application to multiple change-point detection. Then, we propose a unified approach to functional estimation problems based on possibly censored data. Last, we lead a simultaneous study of density and conditional density estimation based on dependent data. The choice of the collection of partitions into dyadic intervals or rectangles reveals highly interesting in theory and in practice. As a matter of fact, our penalized estimator satisfies in each framework a nonasymptotic oracle-type inequality for a well-chosen penalty. It also reaches the minimax rate, up to a constant, over a wide range of classes of functions with possible inhomogeneous and anisotropic smoothness. That property follows from approximation results whose proofs are inspired from a paper by DeVore and Yu. Besides, our estimator can be determined via a shortest-path algorithm whose computational complexity is only linear in the sample size.