Programme de Langlands p-adique, invariants £ et catégories dérivées

P-adic Langlands program, £ invariants and derived categories

• Auteur / Autrice : Benjamin Schraen
• Direction : Christophe Breuil
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Foncteurs, Théorie des

Groupes p-adiques

Mots clés libres

P-adic Langlands

Locally analytic representations

Locally analytic cohomology

Résumé

Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois de Qp, on sait lui associer une représentation p-adique continue B(V) de GL_2(Qp). Dans un premier chapitre, nous considérons le cas où V est semi-stable non cristalline et construisons un foncteur qui, appliqué à une sous-représentation localement analytique Sigma(V) de B(V) construite par Breuil, donne le module de Fontaine de V. Cette méthode, inspirée des travaux de Carayol et Dat dans le cadre l-adique, utilise le complexe de de Rham du demi-plan de Drinfel'd. Lorsque L est une extension finie de Qp, nous étendons cette construction à certaines familles de représentations semi-stables non cristallines de dimension 2 du groupe de Galois de L, paramétrées par un [L:Qp]-uplet d'éléments du corps des coefficients. Nous proposons alors, par analogie avec les constructions de Breuil dans le cas L=Qp, la construction d'une représentation localement analytique de GL_2(L) associée à V et montrons qu'elle permet de retrouver le module de Fontaine de V par le foncteur décrit précédemment. Dans un deuxième chapitre, nous nous intéressons à certaines familles de représentations semi-stables de dimension 3 de G_Qp. Dans ce cas, la situation devient plus compliquée et nous construisons, pour toute représentation V de cette famille, non pas une représentation mais un complexe Sigma(V) de représentations localement analytiques de GL_3(Qp). Nous montrons alors qu'un analogue du foncteur du chapitre 1, mais utilisant l'espace de Drinfel'd de dimension 2, associe à Sigma(V) le module de Fontaine de V.

The results of this thesis have for background the p-adic Langlands program. When V is a two dimensional p-adic representation of the Galois group of Qp, we know how to associate to V a continuous p-adic representation of GL_2(Qp). In a first chapter, we consider the case where V is semi-stable non crystalline and construct a functor which gives the Fontaine module of V, when it is applied to a locally analytic subrepresentation Sigma(V) of B(V) which was constructed by Breuil. This method, which is inspired by works of Carayol and Dat in the l-adic setting, uses the de Rham complex of Drinfel’d’s Half space. When L is a finite extension of Qp, we extend this construction to some families of semi-stable non crystalline two dimensional representations of G_Qp parametrized by [L:Qp]-uples of elements of the coefficient field. We propose, in analogy with Breuil’s constructions, a locally analytic representation of GL_2(L) associated to V and show that we can retrieve the Fontaine module of V by the precedent functor. In a second chapter, we are intersesting by some families of semi-stable three dimensional representations of G_Qp. In this case, the situation is much more complicated and we construct, for such a representation V, not a representation but a complex Sigma(V) of locally analytic representations of GL_3(Qp). Then we show that an analog of the functor of the first chapter, but using the two dimensional Drinfel’d’s space, associates to Sigma(V) the Fontaine module of V.