Sémantique et syntaxe vectorielles de la logique linéaire

Vectorial Semantics and Syntax of Linear Logic

• Auteur / Autrice : Christine Tasson
• Direction : Pierre-Louis Curien
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Taylor, Séries de

Algèbre linéaire

Lambda-calcul

Logique mathématique

Résumé

Avec les espaces de finitude, Ehrhard a exhibé une sémantique de la logique linéaire contenant une opération de différentiation. Dans ce cadre, l'interprétation des formules est décomposable en séries de Taylor. Cette étude a engendré des syntaxes différentielles. Cette thèse de sémantique dénotationnelle étudie la formule de Taylor syntaxique. La première partie aborde la sémantique. Nous présentons l'interprétation des constructions de la logique linéaire dans les espaces vectoriels munis d'une topologie linéarisée, les espaces de Lefschetz. Nous définissons une notion intrinsèque d'espaces de finitude, les espaces de Lefschetz finitaires. Nous caractérisons les espaces de Lefschetz réflexifs complets à l'aide de bornologies linéaires. Enfin, nous montrons que la décomposition de Taylor reste valide dans ces espaces. La seconde partie porte sur les syntaxes différentielles. La formule de Taylor syntaxique traduit un terme en une superposition de termes différentiels qui sont autant de possibilités d'exécutions. Comme l'ont montré Ehrhard et Régnier, les termes issus de cette traduction vérifient une relation de cohérence. Nous introduisons une sémantique totale qui capture cette relation. Puis, nous construisons une extension vectorielle du lambda-calcul, le calcul barycentrique, interprété par cette sémantique totale. Enfin, dans le cadre des réseaux différentiels, nous présentons un algorithme non déterministe qui permet de décider si un ensemble fini de réseaux différentiels provient de la traduction d'un réseau de la logique linéaire par la formule de Taylor syntaxique.

With finiteness spaces, Ehrhard has shown a semantics of linear logic with a differentiation operation. In this framework, the interpretation of formula can be represented as Taylor series. This has led to the introduction of differential syntax. We study the syntactical Taylor formula through denotational semantics. In the first part, we tackle semantics. We present the interpretation of linear logic constructions in linearised topological vector spaces. We build an intrinsic notion of finiteness spaces, named finitary Lefschetz spaces. We characterize the linearised topological vector spaces which are reflexive and complete thanks to linear bornologies. Last, we show that the Taylor series property of finiteness spaces is still true in the linearized topological vector spaces framework. The second part is about differential syntax. The syntactic Taylor formula translate terms into a sum of differential terms representing different executions. As shown by Ehrhard and Regnier, terms resulting of this translation are coherent. We introduce a total semantics which catch this relation. We build a linear extension of lambda-calculus, named barycentric-calculus and interpreted by the total semantics. Finally, in the differential nets framework, we present a non-deterministic algorithm which decides if a finite set of differential nets comes from a linear logic net through the syntactic Taylor formula. Realizability for differential Systems and relational semantics for the various nets we consider are also discussed.