Deformation quantization and Lie theory

• Auteur / Autrice : Panagiotis Batakidis
• Direction : Charles Torossian
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 7
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Quantification géométrique

Poisson, Algèbres de

Groupes de Lie nilpotents

Résumé

Dans les deux premiers chapitres on expose des notions élémentaires concernant les algèbres de Lie nilpotentes et les opérateurs différentiels. Une vue d'ensemble des résultats de Fujiwara, Corwin-Greenleaf & al. Liées à la conjecture de Duflo est donnée. La quantification de Kontsevich est expliquée en détails. Sa généralisation aux cas des variétés coisotropes, due à Cattaneo-Felder, est également exposée et la notion de l'algèbre de réduction y est définie. Dans le troisième chapitre, en considérant un caractère différent de zéro d'une sous-algèbre fixe d'une algèbre de Lie, nous démontrons un théorème indiquant que l'algèbre de réduction de l'espace affine est isomorphe à une déformation de l'algèbre des opérateurs différentiels invariants. Une formule explicite de cet isomorphisme est donnée. D'autres algèbres de réduction sont examinées, les relations entre elles et leurs spécialisations sont décrites en détails. Dans le quatrième chapitre, nous calculons des caractères de l'algèbre de réduction grâce aux diagrammes de triquantification et nous donnons une formule explicite pour ces caractères. Par double récurrence nous prouvons que ce caractère est égal au caractère construit avec la distribution propre de Penney. Finalement on calcule en détail toutes les formules introduites dans le texte pour une algèbre de Lie nilpotente de dimension 5. On montre que la formule du caractère fournit un isomorphisme explicite pour la conjecture de Duflo faisant intervenir l'exponentielle d'un opérateur différentiel de degré 3 à coefficients rationnels.

The first two chapters review the necessary notions concerning nilpotent Lie algebras, and invariant differential operators. An overview of the existing results of Fujiwara, Corwin-Greenleaf & al. Related to the Duflo conjecture is given in details. The Kontsevich formulation of Deformation Quantization is also reviewed. The generalization for coisotropic submanifolds due to Cattaneo-Felder is also covered and the notion of the reduction algebra is defined. In the third chapter considering a nonzero character of a fixed Lie subalgebra of a general Lie algebra, we prove a Theorem stating that the reduction algebra of the affine space is isomorphic to a deformation of the algebra of invariant differential operators. An explicit formula of this isomorphism is given. Other reduction algebras are examined, and the relations between them and their specializations is described in details. In the forth chapter we calculate characters of the reduction algebra and its specialization thanks to triquantization diagrams and we give an explicit formula for this character. Using double induction, we prove that this character equals the character constructed with the Penney eigendistribution Finally we compute in full detail all the formulas introduced in the text for a 5-dimensional nilpotent Lie algebra. It is shown that the character formula obtained gives an isomorphism between reduction algebras containing the exponential of a differential operator of degree 3 with rational coefficients.