Thèse soutenue

Rang de surfaces elliptiques : théorèmes de comparaison

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Auteur / Autrice : Cecilia Salgado Guimaraes da Silva
Direction : Marc Hindry
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Soit E une surface elliptique définie sur un corps de nombres k de rang générique r. Un corollaire d'un théorème de spécialisation (Néron, Silverman) garantit que le rang de presque toutes les fibres est au moins égal à r. L'objectif principal de cette thèse est d'améliorer la borne inférieure pour une infinité de fibres. Pour les surfaces elliptiques rationnelles, on démontre moyennant certaines conditions sur leurs modèles minimaux, que l'ensemble de fibres dont le rang est supérieur ou égal à r + 2 est infini. Dans le cas des surfaces elliptiques K3 on obtient, modulo conditions, une infinité de fibres dont le rang supérieur ou égal à r -h 1. La technique principale est géométrique et consiste à produire des changements de base qui satisfont des conditions suffisantes pour garantir que la nouvelle surface possède au moins deux nouvelles sections indépendantes et a comme base une courbe avec une infinité des points rationnels. On étudie aussi d'autres aspects arithmétiques et géométriques des surfaces elliptiques comme le rapport entre les mauvaises fibres et les points éclatés pour obtenir une surface rationnelle, la construction des surfaces elliptiques rationnelles de rang cinq et enfin le signe de l'équation fonctionnelle dans une famille de courbes elliptiques.