Propagation d'incertitudes pour les systèmes de lois de conservation, méthodes spectrales stochastiques

Uncertainty propagation for systems conservation laws, stochastic spectral methods

• Auteur / Autrice : Gaël Poëtte
• Direction : Bruno Després, Didier Lucor, Pierre Sagaut
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie

Lois de conservation (physique)

Systèmes hyperboliques

Résumé

Dans cette thèse, nous nous interessons à la quantification d'incertitudes par des méthodes spectrales stochastiques appliquées aux systèmes de lois de conservations. Ils sont non linéaires et développent des discontinuités: ces difficultés peuvent entraîner la perte de l'hyperbolicité du système tronqué résultant de l'application de l'approche sG-gPC (projection Galerkin). Nous introduisons un formalisme basé à la fois sur la théorie cinétique et sur la théorie des moments pour assurer par construction l'hyperbolicité du système tronqué obtenu. L'idée est de fermer le système tronqué par projection Galerkin via l'introduction d'une entropie -- fonction strictement convexe. Dans le cas où cette entropie est l'entropie mathématique du système non tronqué, l'hyperbolicité est assurée. Nous établissons également plusieurs propriétés du système tronqué obtenu par projection Galerkin d'un système de lois de conservation non tronqué quelconque. Nous appliquons ensuite la méthode de propagation d'incertitudes à l'équation de Burgers ainsi qu'au système Euler. Aux voisinages des discontinuités, la nouvelle méthode borne les oscillations dûes au phénomène de Gibbs, sans utilisation de méthodes adaptatives. La méthode se révèle plus précise que la méthode intrusive classique sur plusieurs problèmes-tests. Dans un dernier chapitre, nous proposons deux pistes prospectives : nous proposons une méthode de quantification d'incertitudes couplant système tronqué et système non tronqué. Nous mettons enfin en évidence le potentiel de modélisation de la méthode intrusive pour la prise en compte de perturbations tridimensionnelles d'un écoulement moyen monodimensionnel.

In this thesis, we are interested in the quantification of uncertainty with stochastic spectral methods applied to systems of conservation laws. These are nonlinear and develop discontinuities: these difficulties can foster a loss of the hyperbolicity of the truncated system resulting from the application of sG-gPC (Galerkin projection). We introduce a well suited formalisme based on both kinetic theory and moment theory so as to ensure, by construction, the hyperbolicity of the resulting truncated system. The idea is to close the truncated thanks to a nonlinear Galerkin projection via introduction of a system entropy - strictly convex function. In the case this entropy is the mathematical entropy of the non truncated system, hyperbolicity is ensured. We establish several properties of the truncated system obtained with the new method for an arbitrary conservation law. We apply the new method to Burgers equation and Euler. In the vicinity of discontinuities, the new method bounds the oscillations due to Gibbs phenomenon without the use of an adaptive procedure. The method reveals to be more precise than classical intrusive method on several test problems. In a last chapter, we present two prospective tracks: we suggest an uncertainty quantification method coupling truncated system and non truncated system. We finally emphasize the potential of modelization of the intrusive approach so as to take into account tridimensional perturbations of a monodimensional mean flow.