Quelques problèmes relatifs à la dynamique des points vortex dans les équations d'Euler et de Ginzburg-Landau complexe

On some problems related to the vortex dynamics in the Euler and complex Ginzburd-Landau

• Auteur / Autrice : Evelyne Miot
• Direction : Didier Smets
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Dynamique des points vortex

Fluides incompressibles

Équation d'Euler

Équations de transport

Équation de Ginzburg-Landau complexe

Énergie de Ginzburg-Landau

Résumé

Les problèmes étudiés dans cette thèse ont trait à la dynamique des points vortex dans des équations pour les fluides ou superfluides bidimensionnels. La première partie est consacrée à l'équation d'Euler incompressible. Nous y analysons le système mixte Euler-points vortex, introduit par Marchioro et Pulvirenti, dans lequel la vorticité se compose d'une superposition de vortex et d'une partie plus régulière. Nous examinons au préalable le lien entre les points de vue lagrangien et eulérien. Nous étudions ensuite l'unicité, puis l'expansion en temps grand du support de la vorticité. Nous abordons enfin la question de l'existence pour des vorticités moins régulières. Dans la seconde partie de la thèse, nous nous focalisons sur une équation de Ginzburg-Landau complexe obtenue en ajoutant un terme de dissipation à l'équation de Gross-Pitaevskii. Après avoir examiné le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie correspondant, nous étudions la dynamique des points vortex dans le cadre de données très bien préparées. Dans un dernier temps, nous considérons un régime asymptotique sans vortex dans lequel les solutions sont des perturbations de champs constants de module égal à un. Une dynamique de type ondes amorties pour la perturbation est mise en évidence.