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Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Thomas Lepoutre
Direction : Benoît Perthame
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

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Cette thèse est consacré à l'analyse de modèles de croissance et de mouvement intervenant en biologie et en écologie. Nous regardons en particulier deux types de modèles: des équations de dynamique de populations structurées et de diffusion croisée. Dans une première partie consacrée aux populations structurées, nous étudions d'abord des modèles linéaires de croissance en environnement périodique en temps. Ces modèles sont caractérisés par l'existence d'un exposant de croissance, la valeur propre de Floquet, dont nous comparons les propriétés avec celui qui apparaît en environnement stationnaire. Par un contre exemple nous montrons qu'il n'y a pas de comparaison générale possible entre ces deux exposants Les résultats de convexité de Kingman sur le rayon spectral des matrices positives sont étendus à la valeur propre de Floquet. Nous étudions également le comportement de cette valeur propre dans des cas où certains paramètres peuvent s'annuler ou exploser. Nous justifions aussi la dérivation d'un modèle d'équations aux dérivées partielles pour la réplication du prion vu comme approximation d'un système infini d'équations différentielles ordinaires. La preuve permet de proposer des pistes pour un modèle plus complet. La deuxième partie est consacrée à des modèles de diffusion croisée dans un domaine bornée et en absence de termes de réactions. L'application de techniques de dualité utilisées pour les systèmes de réaction-diffusion permettent d'obtenir des bornes qui mènent ensuite, combinées à la régularité elliptique à l'existence globale pour une version régularisée du système, pour lequl nous obtenons des résultats d’instabilité de Turing et de bifurcations.