Recherche Avancée

Thèse soutenue

Ensemble fractals engendrés par des processus aléatoires

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Auteur / Autrice : Claire Coiffard
Direction : Paul Deheuvels
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

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Nous nous intéressons dans cette thèse aux ensembles fractals engendrés par des processus aléatoires. Nous introduisons dans un premier chapitre le concept de fractale et les notions qui lui sont associées telles que la mesure et la dimension de Hausdorff. Nous étudions ensuite les oscillations du processus de Wiener multivarié indexé par une classe de foncions. Leur convergence pour la distance de Hausdorff vers un ensemble limite défini va nous amener à introduire un ensemble de points exceptionnels. Ce sont les points pour lesquels les fonctions d'oscillations du processus de Wiener indexé par une classe de fonctions visitent infiniment souvent une certaine fonction de l'ensemble limite. Nous calculons alors la dimension de Hausdorff de cet ensemble. Nous orientons ensuite notre recherche vers l'étude des espacements uniformes de [0,1]^d. Nous étudions l'ensemble des points appartenant infiniment souvent à de grands espacements et nous montrons que c'est un ensemble fractal dont nous donnons la dimension de Hausdorff. Enfin, nous proposons dans un dernier chapitre deux conjectures, l'une sur la mesure de Hausdorff exacte d'un ensemble de points engendré par les espacements uniformes, et l'autre portant sur l'étude du processus empirique uniforme des espacements.