C*-modules et opérateurs d'entrelacement associés à la série principale de groupes de Lie semi-simples

C*-modules and intertwining operators associated to the principal series of semisimple Lie groups

• Auteur / Autrice : Pierre Clare
• Direction : Pierre Julg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/09/2009
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies (Orléans ; 2009-2012)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques appliquées et physique mathématique d'Orléans (1994-2011)
• Jury : Président / Présidente : Georges Skandalis
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Julg, Georges Skandalis, Siegfried Echterhoff, Alain Valette, Jean Renault
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Siegfried Echterhoff, Alain Valette

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hilbert, Modules de

C*-algèbres

Groupes de Lie semi-simples

Mots clés libres

Opérateurs d'entrelacement

C*-modules d'induction

Intertwining operators

C*-induction modules

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la série principale unitaire de certains groupes de Lie semi-simples, du point de vue de la géométrie non-commutative. Pour une famille de sous-groupes paraboliques minimaux de composante de Levi L fixée, nous décrivons la famille des représentations de la série principale unitaire associées au moyen de C*-modules sur C*(L). Cette construction s’inspire de celle des modules d’induction de M. A. Rieffel et nous proposons plusieurs modèles pour les C*-modules obtenus, qui reflètent à ce niveau global les réalisations classiques des représentations de la série principale. En rang réel 1, nous caractérisons certains opérateurs bornés sur ces modules, obtenant ainsi un résultat d’irréductibilité analogue à celui de F. Bruhat dans le cas classique. Nous démontrons ensuite la convergence, sur des sous-modules, d’intégrales d’entrelacement analogues à celles définissant les opérateurs de Knapp et Stein. Ces intégrales peuvent être décomposées en somme d’un opérateur densément défini et vraisemblablement borné, d’un opérateur densément défini et d’un terme résiduel, étudiés séparément. Nous indiquons enfin, dans certains cas particuliers, une procédure de normalisation aboutissant à la construction d’opérateurs d’entrelacement unitaires entre C*-modules. Ces opérateurs manifestent l’action du groupe de Weyl régissant les équivalences entre représentations de la série principale au niveau de la C*-algèbre réduite du groupe.

This thesis is devoted to the study of the unitary principal series of certain semisimple Lie groups, within the framework of non-commutative geometry. For a family of minimal parabolic subgroups sharing the same Levi component L, we describe the associated unitary principal series representations by means of C*(L)-Hilbert modules. This construction is inspired from the work of M. A. Rieffel and we provide different realisations for the modules that it yields, thus translating at a global level the classical pictures of the principal series. For real-rank 1 groups, we characterise a certain class of bounded operators on those modules, and obtain an irreducibility result, analogous to Bruhat’s classical one. We then establish the convergence, on certain submodules, of intertwining integrals close to the ones defining Knapp and Stein operators. Those integrals can be written as the sum of a densely defined and likely bounded operator, a densely defined unbounded operator and a residual term. We finally indicate, in special cases, a normalisation process which yields unitary intertwining operators between Hilbert modules. Those operators implement the Weyl group action related to unitary equivalences among the principal series at the level of the group reduced C*-algebra.