Variétés des réductions des groupes algébriques réductifs

Thevariety of reductions for a reductive linear algebraic group

• Auteur / Autrice : Michael Le Barbier
• Direction : Nicolas Ressayre, Laurent Manivel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Montpellier 2

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie

Groupes topologiques de transformations

Mots clés libres

Groupes et transformations

Géométrie projective complexe

Paires symétriques

Résumé

A. Iliev et L. Manivel inspirés par la construction par S. Mukai d'une variété classant les réductions de Gauss d'une quadrique projective lisse, et les dégénérescences de ces réductions, définissent la variété des réductions d'une algèbre de Jordan simple. En étudiant ces variétés, ils trouvent trois nouvelles variétés de Fano. Les variétés de Fano sont intéressantes pour leur riche géométrie et pour le rôle qu'elles jouent en géométrie birationnelle, il est cependant rare d'en découvrire de nouvelles. Je généralise la construction des variétés de réductions pour les paires symétriques réductives, démontre des propriétés générales de ces variétés et étudie trois exemples. La variété des réductions d'une paire symétrique réductive est une variété projective quasi-homogène sous l'action du groupe fixe de la paire symétrique, dont l'orbite ouverte est l'ensemble des algèbres anisotropes, réductives, maximales de la paire symétrique. Pour les propriétés générales, l'application centralisateur, une application rationnelle de l'espace anisotrope vers la variété des réductions, permet d'isoler un gros ouvert du lieu lisse de la variété des réductions, d'y élucider la combinatoire des orbites, et de généraliser aux paires symétriques un résultat connu sur le lieu irrégulier d'une algèbre de Lie simple. Je classe les sous-espaces linéaires de la variété des réductions contenant un point général, et en déduit dans les cas favorables un résultat de positivité pour la classe anticanonique de la variété. Parmi les trois cas particuliers étudiés, on trouve deux variétés de Fano, l'une lisse de dimension 6 et indice 2, l'autre singulière et normale, de dimension 8 et indice 3

Inspired by the construction by S. Mukai of a variety classifying Gauss reductions of a smooth projective quadric, A. Iliev and L. Manivel define the variety of reductions for a simple Jordan algebra. Study of these varieties bring up three new Fano varieties. General interset towards Fano varieties is two-fold: on the first side, their intrinsec geometry is remarkable, an the second side, they play a crucial part in birational geometry. New ones are however seldom found. I generalise this construction to reductive symmetric pairs, study some of their general properties and three small dimension examples. These varieties are projective, quasi-homogenous under the operation of the fixed point group of the symmetric pair. Points in the open orbit are the anisotropic, reductive, maximal subalgebras of the symmetric pair. In the general setup, I explain how the centralizer map, a rational map from the anisotropic space to the variety of reductions, parametrizes a smooth open subset, simplifies the study of combinatorial properties of the orbits in this open subset, and allows to slightly generalise to symmetric-pair's context the well-known description of the irregular locus of simple Lie algebras. I classify linear subspaces of the variety of reductions through a general point, and deduce, for the good cases, the positivity of the anticanonical class of the variety. Among studied examples lie two Fano varieties, one is a smooth 6-fold of index 2, the second is a singular normal 8-fold of index 3