Thèse soutenue

Structures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes, Cohomologie et Déformations

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Auteur / Autrice : Frédéric Butin
Direction : Claude RogerGadi Perets
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 13/11/2009
Etablissement(s) : Lyon 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
Jury : Président / Présidente : Jacques Alev
Examinateurs / Examinatrices : Claude Roger, Gadi Perets, Roland Berger, Serge Parmentier
Rapporteurs / Rapporteuses : Jacques Alev, Vladimir Bavula, Gilles Halbout

Résumé

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La quantification par déformation et la correspondance de McKay forment les grands thèmes de l'étude qui porte sur des variétés algébriques singulières, des quotients d'algèbres de polynômes et des algèbres de polynômes invariants sous l'action d'un groupe fini. Nos principaux outils sont les cohomologies de Poisson et de Hochschild et la théorie des représentations. Certains calculs formels sont effectués avec Maple et GAP. Nous calculons les espaces d'homologie et de cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein, en développant une généralisation du Théorème de HKR au cas de variétés non lisses et utilisons la division multivariée et les bases de Gröbner. La clôture de l'orbite nilpotente minimale d'une algèbre de Lie simple est une variété algébrique singulière sur laquelle nous construisons des star-produits invariants, grâce à la décomposition BGS de l'homologie et de la cohomologie de Hochschild, et à des résultats sur les invariants des groupes classiques. Nous explicitons les générateurs de l'idéal de Joseph associé à cette orbite et calculons les caractères infinitésimaux. Pour les algèbres de Lie simples B, C, D, nous établissons des résultats généraux sur l'espace d'homologie de Poisson en degré 0 de l'algèbre des invariants, qui vont dans le sens de la conjecture d'Alev et traitons les rangs 2 et 3. Nous calculons des séries de Poincaré à 2 variables pour des sous-groupes finis du groupe spécial linéaire en dimension 3, montrons que ce sont des fractions rationnelles, et associons aux sous-groupes une matrice de Cartan généralisée pour obtenir une correspondance de McKay algébrique en dimension 3. Toute l'étude a donné lieu à 4 articles