Algèbre et géométrie discrètes appliquées au groupe de Pauli et aux bases décorrélées en théorie de l’information quantique

Discrete algebra and geometry applied to the Pauli group and mutually unbiased bases in quantum information theory

• Auteur / Autrice : Olivier Albouy
• Direction : Maurice Kibler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 12/06/2009
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de Physique et Astrophysique de Lyon (Lyon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Physique Nucléaire de Lyon
• Jury : Président / Présidente : François Gières
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Perrine, Hubert De Guise, François Delduc
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Planat, Metod Saniga
• DOI : 10.70675/abf9b50cz0b4ez4a40za271z6c0bcb789507

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie projective

Espaces de Hilbert

Algèbres de Clifford

Isomorphismes (mathématiques)

Géométrie symplectique

Théorie quantique

Mots clés libres

Information quantique

Groupe de Pauli

Bases décorrélées

Géométrie projective

Géométrie symplectique

Groupe de Clifford

Mesure de l’intrication

Espace des phases discret

Quantum information

Pauli group

Mutually unbiased bases

Projective geometry

Symplectic geometry

Clifford group

Entanglement measure

Discrete phase space

Résumé

Pour d non puissance d’un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d’un espace de Hilbert de dimension d n’est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telle bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L’étude de la droite projective sur Zdm montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l’aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de Zd2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Zd)²),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l’espace des phases discret sont alors développés.Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l’étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant.

For d not a power of a prime, the maximal number of mutually unbiased bases (MUBs) in a d-dimensional Hilbert space is still unknown. In this thesis, we begin by an original building of MUBs by means of Gauss sums, in relation with a family of irreducible representations of the Lie algebra su(2).Then, we sytematically study the possibility of building such bases by means of Pauli operators. 1) The study of the projective line on Zdm shows that, in order to obtain maximal sets of MUBs, tensorial products of these operators are in order. 2) Lagrangian submodules of Zd2n, of which we give a complete classification, account for maximally commuting sets of Pauli operators. This classification enables to know which of these sets are likely to yield unbiased bases. They correspond to Lagrangian half-modules that can be interpreted as the isotropic points of the projective line (P(Mat(n, Zd)²),ω). Hence, we establish an isomorphism between the unbiased bases thus obtained and distant Lagrangian half-modules, which precises by the way the correspondance between Gauss sums and MUBs. 3) Corollaries on the Clifford group and the finite phase space are then developed.Finally, we present some tools inspired by the previous study. We deal with the cross-ratio on the Bloch sphere and projective geometry in higher dimension, Pauli operators with continuous exponents and we compare von Neumann entropy with a determinantal measure of entanglement