Études combinatoires sur les permutations et partitions d'ensemble

Combinatorial studies on set partitions and permutations

• Auteur / Autrice : Anisse Kasraoui
• Direction : Jiang Zeng
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Habsieger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Christophe Novelli, Sylvie Corteel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ira Gessel, Guoniu Han, Xavier Gérard Viennot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laguerre, Polynômes de

Polynômes orthogonaux

Partitions (mathématiques)

Analyse combinatoire

Mots clés libres

Combinatoire énumérative

Partitions et permutations

Statistiques mahoniennes et Euler-Mahoniennes

Q-nombres eulériens et de Stirling

Croisements et imbrications d'arcs

Indice majeur et nombre d'inversions

Q-polynômes orthogonaux de Laguerre

Polynômes d'Al-Salam-Chihara

Coefficients de linéarisation

Résumé

Cette thèse regroupe plusieurs travaux de combinatoire énumérative sur les permutations et permutations d'ensemble. Elle comporte 4 parties. Dans la première partie, nous répondons aux conjectures de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble. Plus précisément, nous montrons que les statistiques de Steingrimsson sur les partitions ordonnées d'ensemble ont la distribution euler-mahonienne. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions une nouvelle classe de statistiques sur les mots : les statistiques "maj-inv". Ces dernières sont des interpolations graphiques des célèbres statistiques "indice majeur" et "nombre d'inversions". Dans la troisième partie, nous montrons que la distribution conjointe des statistiques"nombre de croisements" et "nombre d'imbrications" sur les partitions d'ensemble est symétrique. Nous étendrons aussi ce dernier résultat dans le cadre beaucoup plus large des 01-remplissages de "polyominoes lunaires". La quatrième et dernière partie est consacrée à l'étude combinatoire des q-polynômes de Laguerre d'Al-Salam-Chihara. Nous donnerons une interprétation combinatoire de la suite de moments et des coefficients de linéarisations de ces polynômes.

This thesis consists of four chapters, each on a different topic in enumerative combinatorics, all related in some way to the enumeration of permutations or set partitions. In the first chapter, we prove and generalize Steingrimsson's conjectures on Euler-Mahonian statistics on ordered set partitions. In the second chapter, we introduce and study a new class of statistics on words: the "maj-inv" statistics. These are graphical interpolation of the well-known "major index" and "inversion number". In the third chapter, we show that the joint distribution of the numbers of crossings and nestings on set partitions is symmetric. We also put this result in the larger context of enumeration of increasing and decreasing chains in 01-fillings of moon polyominoes. In the last chapter, we decribe various aspects of the Al-Salam-Chihara q-Laguerre polynomials. These include combinatorial descriptions of the polynomials, the moments, the orthogonality relation and a combinatorial interpretation of the linearization coefficients.