Thèse soutenue

Bas du spectre et géométrie des variétés de volume infini

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Auteur / Autrice : Samuel Tapie
Direction : Gérard BessonGilles Courtois
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales et géométrie différentielle
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Grenoble 1

Mots clés

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Résumé

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Cette thèse étudie les variétés non compactes dont le bas du spectre du Laplacien est une valeur propre isolée. L'objectif général est de relier la géométrie de ces variétés à certaines propriétés spectrales. Au Chapitre 2, nous étudions les variétés G-périodiques, qui généralisent les variétés périodiques et les revêtements. Nous relions le bas du spectre d'une telle variété avec celui de sa cellule élémentaire et la combinatoire du graphe G sous-jacent. Nous montrons que les deux bas du spectres sont égaux si et seulement si le graphe est moyennable. Au Chapitre 3, nous donnons une caractérisation du bas du spectre d'une variété à bord par ses fonctions lambda-harmoniques positives. Puis nous montrons que pour une métrique générique, lorsque le bas du spectre est une valeur propre isolée la première fonction propre est de Morse. Enfin, nous montrons que pour un revêtement générique, on peut construire un domaine fondamental pour l'action du groupe de revêtement sur lequel le relevé de la première fonction propre vérifie les conditions de Neumann. Ceci nous permet d'appliquer les résultats du Chapitre 2 aux revêtements. Au Chapitre 4, nous présentons une conjecture due à R. Canary, qui prévoit que lorsque l'on déforme une variété hyperbolique de dimension 3 géométriquement finie et acylindrique, le bas du spectre est maximal lorsque le bord du coeur convexe est lisse. Au Chapitre 5, une étude de l'entropie des variétés à courbure négative pincée convexe cocompacte nous permet d'obtenir une formule de variation du bas du spectre dans le cas des déformations des variétés hyperboliques convexe cocompactes.