Plongement de fibrés hermitiens à l'aide du noyau de la chaleur et espaces limites

Embedding hermitian bundles by their heat kernel and limit spaces

• Auteur / Autrice : Joanna Abdou
• Direction : Gérard Besson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales et géométrie différentielle
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs de Dirac

Dirichlet, Formes de

Théorie spectrale (mathématiques)

Géométrie différentielle

Résumé

Dans cette thèse, nous partons d'un fibré vectoriel E sur une variété compacte M (avec un produit scalaire et une connexion adaptée) et nouS considérons un opérateur: le "laplacien généralisé" qui est fonné par le laplacien brut et un potentiel. Nous nous ramenons au fibré des repères (un fibré principal) P associé au fibré vectoriel E. Les fonctions équivariantes sur P à valeur dans l'espace modèle de la fibre correspondent aux sections de E. Nous réalisons un plongement dans un espace de Hilbert au moyen de ces fonctions équivariantes et du noyau de la chaleur. Ensuite nous étudions les propriétés de plongement, notamment la métrique induite. Nous constatons que le plongement est asymptotiquement une isométrie lorsque le temps t tend vers O. Nous illustrons plus concrètement cette étude dans le cas de l'opérateur de Dirac. D'autre part, nous généralisons, aux cas des fibrés, des estimées liées au noyau de la chaleur. Ceci nous permet de démontrer, dans ce contexte, un théorème de précompacité pour une nouvelle distance spectrale que nous définissons. Nous obtenons un résultat de convergence vers un espace limite, avec un certain nombre de "bonnes propriétés" liées à cette convergence.

Ln this thesis, we consider a vector bundle E over a compact manifold M (with an inner product and an adapted connection) and an operator: the "generalized Laplacian" which is the rough Laplacian with a potential. Then we refer to the frame bundle (a principal bundle) P associated to the vector bundle E. The equivariant functions on P with value in the fiber space correspond to the sections of E. We construct an embedding in a Hilbert space using these equivariant functions and the heat kemel. We also discuss the properties of this embedding, more precisely, the induced metric. We conclude that the embedding is asymptotically an isometry as the time t tends to O. We illustrate the study in a concrete way by studying the case of the Dirac operator. Ln the same context, we generalizesorne heat kemel estimates which lead us to demonstrate a precompacity theorem for a new spectral distance that we define. As aconsequence, we obtain a result of convergence to a limit space, with a certain number of "good properties" related to this convergence.