Sur deux questions connexes de connexité concernant les feuilletages et leurs holonomies

On two connected connectedness questions regarding foliations and their holonomies

• Auteur / Autrice : Hélène Eynard-Bontemps
• Direction : Emmanuel Giroux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : École normale supérieure (Lyon ; 1987-2009)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homotopie

Feuilletages (mathématiques)

Difféomorphismes

Mots clés libres

Centralisateur

Commutation

Connexité

Feuilletage de codimension 1

Variété de dimension 3

Champ de plan intégrable

Résumé

Les deux questions de connexité auxquelles on s'intéresse concernent : – l'espace des feuilletages de codimension 1 sur une variété de dimension 3 ; – l'espace des représentations du groupe Z^2 dans le groupe des difféomorphismes lisses de l'intervalle. Le résultat principal, qu'on démontre dans la seconde partie de la thèse, est le suivant : si deux feuilletages de codimension 1 sur une variété close de dimension 3 ont des sous-fibrés tangents homotopes, on peut les relier par un chemin de feuilletages. Cet énoncé cache une subtilité : si les feuilletages donnés sont lisses, le chemin obtenu peut contenir, près de ses extrémités, des feuilletages qui ne sont que C^1. Cela vient de ce qu'on ne sait pas si l'espace des représentations de Z^2 dans les difféomorphismes de l'intervalle est connexe ou non. En tentant de répondre à cette question, on a montré le phénomène suivant qui fait l'objet de la première partie de la thèse : de nombreux difféomorphismes lisses de R+, sans autre point fixe que l'origine, ont un centralisateur C^infini non dénombrable et dense dans leur centralisateur C^1, lequel est un groupe à un paramètre. On discute également les propriétés arithmétiques de ce sous-groupe.

The two connectedness questions we are interested in refer to : – the space of codimension 1 foliations on a 3-manifold ; – the space of representations of Z^2 into the group of smooth diffeomorphisms of the interval. The main result, which is proved in the second part of the dissertation, is the following : if two codimension 1 foliations on a closed 3-manifold have homotopic tangent subbundles, they can be linked by a continuous path of foliations. This statement hides a subtlety : if the given foliations are C-infinite, the path we construct can contain near its bounderies foliations which are only C^1. This is becaus we don't know whether the space of representations of Z^2 into the diffeomorphisms of the interval is connected or not. In an attempt to answer this very question, we pointed out the following phenomenon which is discussed in the first part to the dissertation : many C-infinite diffeomorphisms of R+ fixing only the origin have a C-infinite centralizer which is uncountable and dense in their C^1 centralizer (wich is itself a one-parameter group). We also study the arithmetic properties of this subgroup.