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Thèse Année : 2009

Use and disuse of plugs in foliations

Pièges dans la théorie des feuilletages : exemples et contre-exemples

Ana Rechtman

Résumé

In this text we deal with two main questions. The first one is to know if geodesible vector fields on closed 3-manifolds have periodic orbits. The second one studies the relation between the concepts of amenability and having Folner leaves in the context of foliations. The common point is the use of plugs. Plugs are a useful tool for changing a foliation inside a foliated chart.

The first chapter is dedicated to the first question. A non singular vector field is geodesible if there is a Riemannian metric of the ambient manifold making the orbits of the vector field geodesics. Let X be a geodesible vector field on a closed oriented 3-manifold, and assume that the 3-manifold is either diffeomorphic to the sphere or has non trivial second homotopy group. The main theorems of this chapter said that under this assumptions X has a periodic orbit if it is real analytic or if it preserves a volume.

In the second chapter we talk about the second question. In 1983, R. Brooks stated that a foliation with all its leaves Folner is amenable, with respect to an invariant measure. Using a plug, we will construct a counter-example of this statement, that is a non-amenable foliation whose leaves are Folner. We will then show that if we assume that the foliation is minimal, that is that all the leaves are dense, the fact that the leaves are F{\o}lner implies that the foliation is amenable. This hypothesis was suggested by V. A. Kaimanovich. The proof uses a theorem by D. Cass that describes minimal leaves.
Dans ce travail, nous nous intéressons à deux questions. La première est de savoir si les champs de vecteurs non singuliers et géodésibles sur une variété fermée de dimension trois ont des orbites périodiques. La seconde, étudie les relations entre les feuilletages moyennables et les feuilletages dont toutes les feuilles sont Folner. L'idée commune dans ces deux problèmes est l'utilisation de pièges: un outil qui nous permet de changer un feuilletage à l'intérieur d'une carte feuilletée.

Dans le premier chapitre nous abordons la première question. On dit qu'un champ de vecteurs non singulier est géodésible s'il existe une métrique riemannienne sur la variété ambiante pour laquelle toutes les orbites sont des géodésiques. Soit X un tel champ de vecteurs sur une variété fermée de dimension trois. Supposons que la variété est difféomorphe à la sphère ou son deuxième groupe d'homotopie est non trivial. Pour ces variétés, on montre que si X est analytique réel ou s'il préserve une forme volume, il possède une orbite périodique.

Le deuxième chapitre est dédié à la seconde question. En 1983, R. Brooks avait annoncé qu'un feuilletage dont presque toutes les feuilles sont Folner est moyennable. A l'aide d'un piège, on va construire un contre-exemple à cette affirmation, c'est-à-dire un feuilletage non moyennable dont toutes les feuilles sont Folner.
Nous cherchons ensuite des conditions suffisantes sur le feuilletage pour que l'énoncé de R. Brooks soit valable. Comme suggéré par V. A. Kaimanovich, une possibilité est supposer que le feuilletage soit minimal. On montre que cette hypothèse est suffisante en utilisant un théorème de D. Cass que décrit les feuilles minimales.
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Dates et versions

tel-00361633 , version 1 (16-02-2009)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00361633 , version 1

Citer

Ana Rechtman. Use and disuse of plugs in foliations. Mathematics [math]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2009. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00361633⟩
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