Représentations géométriques des groupes de tresses

Geometric representations of braid groups

• Auteur / Autrice : Fabrice Castel
• Direction : Luis Paris
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morphismes (mathématiques)

Théorie des graphes

Théorie des tresses

Résumé

Soit S la surface connexe orientable de genre g ayant b composantes de bords. On cherche à décrire l'ensemble des morphismes du groupe de tresses à n brins Bn où n est supérieur ou égal à 6, dans le mapping class group PMod(S) préservant chaque composante de bord, où g est inférieur ou égal à n/2 et b est quelconque. On prouve que sous ces conditions, les morphismes sont soit des morphismes cycliques (i. E. D'image cyclique), soit des transvections de morphismes de monodromie (i. E. à multiplication par un élément dans le centralisateur de l'image près, l'image d'un générateur standard de Bn est un twist de Dehn, et les images de deux générateurs standards consécutifs sont deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point). En corollaire, on décrira l'ensemble des endomorphismes et celui des endomorphismes injectifs, le groupe d'automorphismes et celui des automorphismes extérieurs pour chacune des trois familles de groupes suivantes : les groupes de tresses Bn où n est supérieur ou égal à 6, les mapping class groups PMod(S) (préservant chaque composante de bord) et les mapping class groups Mod(S,dS) (préservant le bord point par point), pour tout g supérieur ou égal à 2 et b quelconque. On décrira également l'ensemble des morphismes entre groupes de tresses Bn et Bm avec m inférieur ou égal à n+1 et l'ensemble des morphismes entre mapping class groups de surfaces dont les genres diffèrent d'au plus un. Les techniques utilisées sont la classification de Nielsen-Thurston des difféomorphismes des surfaces, les actions de groupes et la théorie des graphes.

Let S be a connected orientable surface of genus g with b boundary components. We aim to describe the set of morphisms from the braid group Bn with n strands, where n is greater or equal to 6, to the mapping class group PMod(S) preserving globally each boundary component, where g is smaller or equal to n/2 and b is any positive integer. With these hypotheses, we prove that the morphisms are either cyclic (that is: their images are cyclic groups) or transvections of monodromy morphisms (that is: up to multiplication by an element lying in the centraliser of the image of the morphism, the image of a standard generator of Bn is a Dehn twist, and the images of two adjacent standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point. As a corollary, we describe the set of endomorphisms and the set of injective endomorphisms, the automorphisms group and the outer automorphisms group for each group of the following families : the braid groups Bn with n greater or equal to 6, the mapping class groups PMod(S) (where the boundary is preserved componentwise), the mapping class groups Mod(S,dS) (where the boundary is preserved pointwise), with g is greater or equal to 2 and b is any positive integer. We describe also the set of morphisms between two braid groups Bn and Bm with m smaller or equal to n+1 and the set of morphisms between two mapping class groups of surfaces whose genuses differ from at most one. The involved technics are Nielsen-Thurston classification of surface diffeomorphisms, group actions, and graph theory.