Résolution de programmes quadratiques en nombres entiers

• Auteur / Autrice : Amélie Lambert
• Direction : Sourour Elloumi, Alain Billionnet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris, CNAM

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation quadratique

Programmation en nombres entiers

Résumé

La minimisation d'une fonction quadratique non convexe dont les variables doivent prendre des valeurs entières et satisfaire des contraintes linéaires est un problème général et fondamental qui permet de modéliser des applications dans des domaines variés. Nous le notons QP. Cette thèse propose plusieurs méthodes pour résoudre QP de façon exacte, en le reformulant par un problème équivalent pouvant être soumis à un solveur. Nous proposons d'abord deux types de reformulations linéaires. La première est fondée sur la linéarisation du produit de deux variables booléennes et la deuxième, sur la linéarisation du produit d’une variable entière par une variable booléenne. La comparaison théorique de ces reformulations montre que la deuxième, qui aboutit à un programme mathématique de plus petite taille, est la plus intéressante. Puis, nous étudions des reformulations quadratiques convexes de QP. Nous proposons un schéma original permettant de construire une famille de problèmes quadratiques convexes équivalents à QP. Nous montrons comment déterminer, par la programmation semidéfinie, la meilleure reformulation de cette famille, au sens de sa relaxation continue. Nous montrons que cette convexification constitue une amélioration des convexifications existantes pour les problèmes 0-1. Nous étendons ces résultats aux problèmes en variables mixtes. Nous proposons aussi un algorithme de Branch & Bound, fondé sur une propriété de projection entre polyèdres, pour résoudre QP après l’avoir reformulé de façon convexe. Enfin, nous présentons des résultats expérimentaux montrant que la reformulation quadratique est efficace sur des problèmes ayant plusieurs dizaines de variables.

The problem of minimizing a non-convex function subject to the condition that the variables are integers from an affine linear space is a fundamental problem in optimization. It is general enough to allow for applications in various areas of engineering and combinatorial optimization. We denote it by QP. This thesis investigates a general framework to solve QP to optimality, by reformulating it into an equivalent program that can be submitted to a solver. We first propose two kinds of linear reformulations. The first is based on the linearization of the product of two binary variables, and the second one on the linearization of the product of a binary variable by an integer one. The theoretical comparison of this two approaches shows that the second that leads to a smaller reformulated problem is the more interesting one. Then we study quadratic convex reformulations of QP. We propose a specific scheme allowing to build a family of convex problems equivalent to QP. We show that we can compute by semidefinite programming the best convex reformulation, within this scheme, and from the continuous relaxation point of view. We show that this convexification improves existing convexifications of 0-1 programming. We also propose a Branch & Bound algorithm based on a projection property between polyhedrons, to solve QP, after having reformulated it into a convex problem. Finally, we present computational results showing that the quadratic reformulation is efficient on problems with up to 50 variables.