Etudes d'objets convexes en tomographie discrète et applications

Convex objects in discrete tomography and applications

• Auteur / Autrice : Khalil Tawbeh
• Direction : Laurent Vuillon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Chambéry
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques (Chambéry)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polyominos

Ensembles convexes

Tomographie (mathématiques)

Mots clés libres

Convexité discrète

Chemin monotone

Segmentation

Reconstruction

Résumé

Le but de cette thèse est de comprendre la structure d'objets convexes dans le plan discret. En effet, plusieurs notions de convexités existent comme les HV- convexe, q-convexe et L-convexe et chacune conduit à une étude intéressante. Une notion naturelle de convexités dans le plan discret est la classe des polyominoes HV -convexes avec des cellules consécutives en lignes et colonnes. En utilisant la tomographie discrète et les travaux de Del lungo, Nivat, Barcucci et Pinzani [3, 4] ainsi que ceux de Chrobak et Dürr [17], on est capable de reconstruire des polyominoes qui sont HV -convexes à partir de leurs vecteurs de projections horizontaux et verticaux. En plus de cela, pour un polyomino P, HV -convexe, chaque paire de cellules de P peut être atteinte en utilisant un chemin inclus dans P, avec seulement deux types de pas (un tel chemin est appelé monotone). Un polyomino est dit kL-convexe si pour chaque deux cellules, on peut trouver un chemin monotone avec au plus k changements de direction. Ainsi l'ensemble des kL-convexes forme une hiérarchie des polyominoes HV -convexes selon le nombre de changement de direction des chemins monotones. La notion des polyominoes L-convexes, c'est a dire quand k = 1, a été introduite par Castiglione et Restivo [13] et leurs structures géométriques et tomographiques sont bien connues [10, 11, 12, 14]. Nous proposons d'étudier la classe des polyominoes 2L-convexes qui ont une structure géométrique et tomographique beaucoup plus compliqués que celles des L-convexes. Nous étudions tout d'abord les propriétés et les aspects géométriques de plusieurs sous-classes des 2L-convexes en fonction des chemins monotones, puis nous nous servons de cette étude pour trouver des algorithmes de reconstruction directe pour ces sous-classes. Une deuxième phase de cette thèse est réservée pour la partie appliquée où nous collaborons avec le Professeur François Cotton pour segmenter et reconstruire en 3D la tumeur cérébrale sur des données réelles provenant de l'imagerie médicale. Nous travaillons sur des images par IRM de l'hôpital sud de Lyon afin de calculer et de montrer la stabilité des géométriques pour donner aux médecins des outils sur l'évolution des tumeurs en fonction de temps.

The aim of this thesis is to understand the structure of convex objects in the discrete plane. Indeed, several notions of discrete convexity exist such as HV- convex, q-convex and L-convex and each one leads to interesting studies. One natural notion of convexity on the discrete plane is the class of HV -convex polyominoes that is polyominoes with consecutive cells in rows and columns. Following the works of Del lungo, Nivat, Barcucci and Pinzani [3, 4] and also those of Chrobak and Dürr [17], we are able to reconstruct HV -convex polyominoes from their horizontal and vertical projections. In addition to that, for an HV -convex polyomino P every pair of its cells can be reached using a path included in P with only two kinds of unit steps, such a path is called a monotone path. A polyomino is called kL-convex if for every two cells we find a monotone path with at most k changes of direction. Obviously a kL-convex polyomino is an HV -convex polyomino. Thus, the set of kL-convex polyominoes for k Є N forms a hierarchy on HV -convex polyominoes according to the number of changes of direction of monotone paths. For k = 1, the notion of L-convex polyominoes has been introduced by Castiglione and Restivo [13] and their geometrical and tomographical characterizations are well known [10, 11, 12, 14]. In fact, 2L-convex polyominoes is the second level of the hierarchy on HV -convex polyominoes and they are more geometrically complex than those of L-convex polyominoes, more- over there is no result for their direct reconstruction. For that we study first the geometrical aspects of all sub-classes of 2L-convex polyominoes in terms of monotone paths, then we use these properties to give the tomographical aspects of these subclasses. The second phase of this thesis is reserved for the practical part where we work with Professor François Cotton on the segmentation and the 3D reconstruction of brain tumors. Several MRI for real patients are analyzed and geometric invariants are calculated, especially the volume in order to give doctors valid estimations for a better diagnosis.